1 . 已知函数．
(1)若在有零点，求实数的取值范围；
(2)记的零点为，的零点为，求证：．

2 . 已知函数.
(1)求函数的最小正周期；
(2)求函数在上的单调递减区间；
(3)已知函数在上存在零点，求实数的取值范围.

3 . 已知函数的最大值为，与直线的相邻两个交点的距离为.将的图象先向右平移个单位，保持纵坐标不变，再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍，得到函数.
(1)求的解析式.
(2)若，且方程在上有实数解，求实数的取值范围.

4 . 设函数，其中且，e是自然对数的底数.
(1)设是函数的导函数，若在上存在零点，求a的取值范围；
(2)若，证明：.

5 . 已知函数．
(1)若的最小值为4，求a的值；
(2)若在上有零点，求a的取值范围．

8 . 已知函数：
（1）证明在上是严格增函数；
（2）令，讨论函数的奇偶性；
（3）在（2）的条件下，当为偶函数时，若方程在上有实根，求实数的取值范围．

9 . 已知函数，.
（1）当 时， 若函数 存在零点，求实数的取值范围并讨论零点个数；
（2）当时，若对任意的， 总存在， 使成立，求实数的取值范围.

10 . 已知函数，．
(1)若图象纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再向右平移个单位，得到的图象在上单调递增，求的最大值；
(2)若函数在内恰有3个零点，求的取值范围．