1 . 根据多元微分求条件极值理论，要求二元函数在约束条件的可能极值点，首先构造出一个拉格朗日辅助函数，其中为拉格朗日系数．分别对中的部分求导，并使之为0，得到三个方程组，如下：
，解此方程组，得出解，就是二元函数在约束条件的可能极值点．的值代入到中即为极值．
补充说明：【例】求函数关于变量的导数．即：将变量当做常数，即：，下标加上，代表对自变量x进行求导．即拉格朗日乘数法方程组之中的表示分别对进行求导．
(1)求函数关于变量的导数并求当处的导数值．
(2)利用拉格朗日乘数法求：设实数满足，求的最大值．
(3)①若为实数，且，证明：．
②设，求的最小值．

2 . 若时，函数取得极大值或极小值，则称为函数的极值点.已知函数，其中为正实数.
(1)若函数有极值点，求的取值范围；
(2)当和的几何平均数为，算术平均数为.
①判断与和的几何平均数和算术平均数的大小关系，并加以证明；
②当时，证明：.

3 . 已知，且0为的一个极值点．
(1)求实数的值；
(2)证明：①函数在区间上存在唯一零点；
②，其中且．

4 . 已知函数在是减函数．
(1)求实数a的取值范围；
(2)记，当时，
①求证：在区间内存在唯一极值点（记为）；
②求证：．

5 . 坐标平面内，由A，B，C，D四点所决定的“贝茨曲线”指的是次数不超过3的多项式函数的图象，过A，D两点，且在点A处的切线经过点B，在点D处的切线经过点C.若曲线是由，，，四点所决定的“贝茨曲线”，试回答下列问题：
（1）求函数的解析式；
（2）求证：函数总存在两个极值点，，且当时，a的最小值为1.

6 . 已知函数.
(1)若是函数的极大值点，函数的极小值为.
①求实数的取值范围及的表达式；
②记为的最大值，求证：（是自然对数的底）.
(2)若在区间上有两个极值点.求证：.