1 . 已知．
(1)求函数的单调区间和极值；
(2)请严格证明曲线有唯一交点；
(3)对于常数，若直线和曲线共有三个不同交点，其中，求证：成等比数列．

3 . 设函数在处取得极值．
(1)设点，求证：过点的切线有且只有一条，并求出该切线方程；
(2)若过点可作曲线的三条切线，求的取值范围；
(3)设曲线在点、处的切线都过点，证明：．

5 . 已知函数．
（1）求函数的极值；
（2）对于曲线上的不同两点，如果存在曲线上的点，且使得曲线在点处的切线，则称为弦的伴随直线，特别地，当时，又称为的—伴随直线．
①求证：曲线的任意一条弦均有伴随直线，并且伴随直线是唯一的；
②是否存在曲线，使得曲线的任意一条弦均有—伴随直线？若存在，给出一条这样的曲线，并证明你的结论；若不存在，说明理由．

6 . 已知函数.
(1)若有唯一极值，求的取值范围；
(2)当时，若，，求证：.

8 . 已知函数.
(1)当时，求函数的极值；
(2)若有两个极值点，求证：.

9 . 已知函数，且．
(1)求实数的值；
(2)求证：存在唯一的极小值点，且；
(3)设，．对，恒成立，求实数b的取值范围．
（参考结论：当时，）

10 . 已知函数.
(1)求证：；
(2)求函数的极值.