1 . 若方程有实数根，则称为函数的一个不动点.已知函数（为自然对数的底数）.
（1）当时是否存在不动点？并证明你的结论；
（2）若，求证有唯一不动点.

2 . 已知函数
（1）当时，证明：；
（2）当时，不等式恒成立，求证实数的取值范围.

3 . 已知函数，，.
（1）当，时，求函数的最小值；
（2）当，时，求证方程在区间上有唯一实数根；
（3）当时，设，是函数两个不同的极值点，证明：.

4 . 已知函数 曲线在原点处的切线为 .
(1)证明：曲线与轴正半轴有交点；
(2)设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线为直线，求证：曲线上的点都不在直线的上方 ；
(3)若关于的方程（为正实数）有不等实根求证：

5 . 已知函数．
（1）求的最大值；
（2）设，是曲线的一条切线，证明：曲线上的任意一点都不可能在直线的上方；
（3）求证：（其中为自然对数的底数，）．

6 . 设函数f（x）图象关于原点对称，且x＝1时，取极小值．
（1）求a、b、c、d的值；
（2）当x∈[﹣1，1]时，图象上是否存在两点，使得过此两点处的切线互相垂直？试证明你的结论；
（3）若x₁，x₂∈[﹣1，1]时，求证：．

7 . 已知定义在正实数集上的函数，其中．设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同．
(1)用a表示b，并求b的最大值；
(2)求证：．

8 . 已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)当，证明：.

9 . 已知函数，其导函数为.
(1)若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围：
(2)当时，证明：在区间上有且只有两个零点.

10 . 已知函数，其中m＞0，f '(x)为f(x)的导函数，设，且恒成立．
(1)求m的取值范围；
(2)设函数f(x)的零点为x₀，函数f '(x)的极小值点为x₁，求证：x₀＞x₁．