1 . 已知函数.
(1)当时，若函数恰有一个零点，求实数的取值范围；
(2)设函数，，对于曲线上的两个不同的点，，记直线的斜率为，若函数的导函数为，证明：.

2 . 已知函数，．
(1)证明：存在唯一零点；
(2)设，若存在，使得，证明：．

3 . 已知函数，设为的导函数．
(1)讨论的零点个数；
(2)当时，记的最小值为，求的最大值．

4 . 已知椭圆的左右焦点分别为，右顶点为A，上顶点为B，O为坐标原点，．

(1)若的面积为，求椭圆的标准方程；
(2)如图，过点作斜率的直线l交椭圆于不同两点M，N，点M关于x轴对称的点为S，直线交x轴于点T，点P在椭圆的内部，在椭圆上存在点Q，使，记四边形的面积为，求的最大值．

5 . 已知函数．
(1)当时，求函数的极值；
(2)若，求的取值范围；
(3)当时，试讨论在内零点的个数，并说明理由．

6 . 已知函数．
(1)求函数的单调区间和最大值；
(2)设函数有两个零点，证明：．

7 . 已知函数（其中为自然对数的底数），．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若对任意的都有不等式成立，求实数a的值．
(3)设，证明：．

8 . 已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)证明：．

9 . 已知函数，．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)证明：函数存在唯一零点．

10 . 已知函数.
(1)求的极值；
(2)若有两个相异的实根，证明：.