1 . 已知函数.
(1)当时，证明：；
(2)已知，，求证：函数存在极小值.

2 . 已知．
(1)求函数的单调区间和极值；
(2)请严格证明曲线有唯一交点；
(3)对于常数，若直线和曲线共有三个不同交点，其中，求证：成等比数列．

3 . 已知.
(1)若在处取到极值，求的值；
(2)直接写出零点的个数，结论不要求证明；
(3)当时，设函数，证明：函数存在唯一的极小值点且极小值大于.

4 . 已知函数，其中.
(1)讨论的极值，当的极值为2时，求的值；
(2)证明：当时，；
(3)求证：.

6 . 已知函数.
(1)若，求证：.
(2)讨论函数的极值；
(3)已知，证明

7 . 已知函数.
(1)若，求函数的极值，并指出是极大值还是极小值；
(2)若，求函数在上的最大值和最小值；
(3)若，求证：在区间上，函数的图象在函数的图象的下方；由此启发，给出以下结论成立的一个判断依据，“在区间（a为常数）上，可导函数的图象在可导函数的图象上方”（不必证明）.

8 . 已知函数
(1)求函数的极值；
(2)当时，判断方程的实根个数，并加以证明；
(3)求证：当时，对于任意实数，不等式恒成立．

9 . 已知函数，.
（1）求函数的极值；
（2）证明：对于任意，都有；
（3）若存在，且当时，，求证：.

10 . 已知函数，．
（1）求函数的极大值；
（2）求证：；
（3）对于函数与定义域上的任意实数，若存在常数，，使得和都成立，则称直线为函数与的“分界线”．设函数，试探究函数与是否存在“分界线”？若存在，请加以证明，并求出，的值；若不存在，请说明理由．