1 . 已知函数，．
(1)求的单调区间；
(2)若对于正实数，满足．
（i）证明：；
（ii）证明：．

2 . 已知函数，其中为自然对数的底数.
(1)若对任意的恒成立，求实数的取值范围；
(2)设的导数为，若，求证：关于的方程在区间上有实数解.

3 . 已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)设函数，若恰有两个极值点，求实数的取值范围．

4 . 已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)当时，，求实数的取值范围．

5 . 设函数，其中为实数．
(1)当时，证明：；
(2)当在定义域内有两个不同的极值点时，证明：．

6 . 记函数在上的导函数为，若（其中）恒成立，则称在上具有性质．
(1)判断函数（且）在区间上是否具有性质？并说明理由；
(2)设均为实常数，若奇函数在处取得极值，是否存在实数，使得在区间上具有性质？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由；
(3)设且，对于任意的，不等式成立，求的最大值．

7 . 已知函数．
(1)若在R上单调递增，求实数a的取值范围；
(2)当时，证明：，．

8 . 已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)判断是否存在，使得的最小值为，并说明理由．

9 . 已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若有两个零点，且，求的取值范围.

10 . 已知函数．
(1)当时，讨论函数的单调性；
(2)若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围．