名校
解题方法
1 . 已知函数
，
.
(1)当
时，求函数
的单调区间;
(2)若函数在
处取得极值，
，
恒成立，求实数b的取值范围；
(3)当
时，求证：
，.(1)当
时，求函数的单调区间;(2)若函数
在处取得极值，，恒成立，求实数b的取值范围；(3)当
时，求证：
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2 . 已知函数
，且的图象在
处的切线斜率为2．
(1)求m；
(2)求的单调区间；
(3)若
有两个不等的实根
，求证：
．
，且的图象在处的切线斜率为2．(1)求m；
(2)求
的单调区间；(3)若
有两个不等的实根，求证：．
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名校
3 . 在信息理论中，
和
是两个取值相同的离散型随机变量，分布列分别为：
，
，
，
，
，
．定义随机变量的信息量
，和的“距离”
．
(1)若
，求
；
(2)已知发报台发出信号为0和1，接收台收到信号只有0和1．现发报台发出信号为0的概率为
，由于通信信号受到干扰，发出信号0接收台收到信号为0的概率为
，发出信号1接收台收到信号为1的概率为
．
（ⅰ）若接收台收到信号为0，求发报台发出信号为0的概率；（用
，表示结果）
（ⅱ）记随机变量和分别为发出信号和收到信号，证明：
．
和是两个取值相同的离散型随机变量，分布列分别为：，，，，，．定义随机变量的信息量，和的“距离”．(1)若
，求；(2)已知发报台发出信号为0和1，接收台收到信号只有0和1．现发报台发出信号为0的概率为
，由于通信信号受到干扰，发出信号0接收台收到信号为0的概率为，发出信号1接收台收到信号为1的概率为．（ⅰ）若接收台收到信号为0，求发报台发出信号为0的概率；（用
，表示结果）（ⅱ）记随机变量
和分别为发出信号和收到信号，证明：．
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2024-05-19更新
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1211次组卷
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7卷引用：海南省部分学校2024届高三考前押题考试（三模）数学试题
海南省部分学校2024届高三考前押题考试（三模）数学试题江西省上饶市稳派上进六校联考2024届高三5月第二次联合考试数学试题吉林省长春市实验中学2023-2024学年高三下学期对位演练考试数学试卷（七）2024届山东省实验中学高三下学期5月高考模拟数学试题山东省齐鲁名师联盟2025届高三上学期第一次诊断考试数学试题（已下线）专题2 随机变量及其分布压轴大题（过关集训）（已下线）专题6 概率与统计中的新定义压轴大题（过关集训）
4 . 已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
有两个极值点，证明：
.
.(1)当
时，求曲线在点处的切线方程；(2)若
有两个极值点，证明：.
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2024-08-28更新
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264次组卷
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3卷引用：海南省2023-2024学年高二下学期阶段性教学检测（四）数学试题
名校
解题方法
5 . 设函数
，
.
(1)求
在
上的最值；
(2)若函数
图象恰与函数图象相切，求实数
的值；
(3)若函数
有两个极值点
，
，设点
，
，证明：
、
两点连线的斜率
.
，.(1)求
在上的最值；(2)若函数
图象恰与函数图象相切，求实数的值；(3)若函数
有两个极值点，，设点，，证明：、两点连线的斜率.
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2024-05-09更新
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294次组卷
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3卷引用：海南省文昌中学2023-2024学年高二下学期期中段考数学试题
海南省文昌中学2023-2024学年高二下学期期中段考数学试题福建省华安县第一中学2023-2024学年高二下学期5月月考数学试题（已下线）专题4 利用导数解决不等式证明问题【讲】（高二期末压轴专项）
解题方法
6 . 已知函数
.
(1)求曲线在点
处的切线方程.
(2)若
，且存在两个极值点.
①求的取值范围；
②证明：
.
.(1)求曲线
在点处的切线方程.(2)若
，且存在两个极值点.①求
的取值范围；②证明：
.
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名校
7 . 已知函数
.
(1)当
时，讨论函数的单调性；
(2)若函数
有两个零点，，且
，求证：
(其中
是自然对数的底数).
.(1)当
时，讨论函数的单调性；(2)若函数
有两个零点，，且，求证：(其中是自然对数的底数).
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2023-12-11更新
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1147次组卷
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5卷引用：海南省海口市海南中学2024届高三上学期第三次月考数学试题
海南省海口市海南中学2024届高三上学期第三次月考数学试题广东省广州市华南师大附中2024届高三上学期第二次调研数学试题（已下线）第五章 导数及其应用 单元复习提升（4大易错与4大拓展）-2023-2024学年高二数学单元速记·巧练（沪教版2020选择性必修第二册）（已下线）专题07 函数与导数常考压轴解答题（12大核心考点）（讲义）（已下线）特训03 一元函数的导数及其应用 压轴题（七大母题型归纳）-2023-2024学年高二数学《重难点题型·高分突破》（人教A版2019选择性必修第二册）
2024高三·全国·专题练习
名校
解题方法
8 . 已知函数
.
(1)证明：
，总有
成立；
(2)设
，证明：
．
.(1)证明：
，总有成立；(2)设
，证明：．
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2024-05-16更新
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447次组卷
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4卷引用：海南省海口市海南中学2023-2024学年高二下学期期末模拟数学试题
海南省海口市海南中学2023-2024学年高二下学期期末模拟数学试题（已下线）专题03 利用导数证明不等式（四大题型）（已下线）重难点突破06 证明不等式问题（十三大题型）-2山东省青岛第五十八中学2025届高三上学期初线上检测数学试题
9 . （1）证明：当
时，
；
（2）若过点
且斜率为
的直线
与曲线
交于
两点，
为坐标原点，证明：
．
时，；（2）若过点
且斜率为的直线与曲线交于两点，为坐标原点，证明：．
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10 . 已知函数
的导函数为
．
(1)若
，求曲线在点
处的切线方程．
(2)若存在两个不同的零点，
（ⅰ）求实数的取值范围；
（ⅱ）证明：
．
的导函数为．(1)若
，求曲线在点处的切线方程．(2)若
存在两个不同的零点，（ⅰ）求实数
的取值范围；（ⅱ）证明：
．
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