1 . 设函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当时，
①证明：函数有两个零点，；
②求证：，注：为自然对数的底数.

2 . 已知．
（1）求证：当时，在上单调递增；
（2）对于任意，证明：．

3 . 已知函数.
（1）讨论的单调性并证明；
（2）求证：，.

4 . 已知函数，.
（1）求函数的极值；
（2）证明：对于任意，都有；
（3）若存在，且当时，，求证：.

5 . 已知函数．
（1）证明：；
（2）若满足，求证：.

6 . 已知函数是自然对数的底数，是的导函数．
（1）若，求证：在单调递增；
（2）证明：有唯一的极小值点（记为），且．

7 . 已知函数.
（1）求证：存在唯一的，使得曲线在点处的切线的斜率为；
（2）比较与的大小，并加以证明.

8 . 已知函数，．
（1）求函数的极大值；
（2）求证：；
（3）对于函数与定义域上的任意实数，若存在常数，，使得和都成立，则称直线为函数与的“分界线”．设函数，试探究函数与是否存在“分界线”？若存在，请加以证明，并求出，的值；若不存在，请说明理由．

9 . 已知函数，是的导函数．
（1）求证：当时，，；
（2）设，证明：当时，．

10 . 已知函数，且函数在点处的切线为轴．
（1）当时，证明：；
（2）已知，，求证：．