1 . 对三次函数
，如果其存在三个实根
，则有
.称为三次方程根与系数关系.
(1)对三次函数
，设
，存在
，满足
.证明：存在
，使得
；
(2)称
是
上的广义正弦函数当且仅当存在极值点
，使得
.在平面直角坐标系
中，
是第一象限上一点，设
.已知
在
上有两根
.
（i）证明：在
上存在两个极值点的充要条件是
；
（ii）求点
组成的点集，满足是
上的广义正弦函数.
，如果其存在三个实根，则有.称为三次方程根与系数关系.(1)对三次函数
，设，存在，满足.证明：存在，使得；(2)称
是上的广义正弦函数当且仅当存在极值点，使得.在平面直角坐标系中，是第一象限上一点，设.已知在上有两根.（i）证明：
在上存在两个极值点的充要条件是；（ii）求点
组成的点集，满足是上的广义正弦函数.
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2 . 设
，满足
．
(1)证明：若
，则当
时，
．
(2)若存在满足
，证明
．
，满足．(1)证明：若
，则当时，．(2)若存在
满足，证明．
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解题方法
3 . 已知函数
，
是自然对数的底数，则（ ）
，是自然对数的底数，则（ ）A． 的最大值为 |
B． |
C．若 ，则 |
D．对任意两个正实数 ，且 ，若 ，则 |
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2022-05-15更新
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1369次组卷
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3卷引用：湖南省湘西州吉首市2022年第一届中小学生教师解题大赛数学试题
名校
解题方法
4 . 已知函数
，
，其中是自然对数的底数．
(1)当
,
，求
的取值范围；
(2)当
时，求证：
.
，，其中是自然对数的底数．(1)当
,，求的取值范围；(2)当
时，求证：.
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2022-02-08更新
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1573次组卷
|
4卷引用：湖南省湘西州吉首市2023年第二届中小学生教师解题大赛数学试题
名校
解题方法
5 . 已知
（1）对一切
恒成立，求实数a的取值范围；
（2）证明：对一切
，都有
成立．
（1）对一切
恒成立，求实数a的取值范围；（2）证明：对一切
，都有成立．
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2021-09-14更新
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799次组卷
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12卷引用：2015年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题
2015年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题2020届湖南省株洲市茶陵二中高三上学期第二次月考数学(文)试题新疆克拉玛依市2022届高三下学期第三次模拟检测数学（理）试题（已下线）专题2-6 导数大题证明不等式归类-2（已下线）2013-2014学年甘肃省兰州一中高二下学期期中考试理科数学试卷（已下线）2013-2014学年甘肃兰州一中高二下学期期中理科数学试卷2015-2016学年河北省正定中学高二上学期期末文科数学卷2015-2016学年湖北沙市中学高二下第五次半月考文数学卷山西省怀仁县第一中学2016-2017学年高二下学期期中考试数学（理）试题陕西省西安市长安区第一中学2017-2018学年高二上学期期末考试数学（文）试题【区级联考】天津市和平区2018-2019学年度第二学期高二年级期中质量调查数学学科试题河北省石家庄二中实验学校2020-2021学年高二下学期4月月考数学试题
解题方法
6 . 已知函数
.对任意
，且
，求证：
（1）
；
（2）
.
.对任意，且，求证：（1）
；（2）
.
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15-16高三下·湖北·阶段练习
名校
7 . 已知函数
，
.
（1）若函数
在
处的切线与直线
平行，求实数
的值；
（2）试讨论函数在区间
上的最大值；
（3）若
时，函数恰有两个零点
，求证：
.
，.（1）若函数
在处的切线与直线平行，求实数的值；（2）试讨论函数
在区间上的最大值；（3）若
时，函数恰有两个零点，求证：.
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2018-12-08更新
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1061次组卷
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8卷引用：2018年全国高中数学联赛黑龙江省预赛
（已下线）2018年全国高中数学联赛黑龙江省预赛2016届湖北七市教研协作体高三4月联考数学（文）试卷（已下线）《2018-2019学年同步单元双基双测AB卷》【文科数学B】第二章第二练函数图像的应用及函数与方程【校级联考】新余四中、上高二中2019届高三第一次联考数学（文）试题【市级联考】河南省洛阳市2019届高三上学期尖子生第二次联考数学文科试题辽宁省六校协作体2019-2020学年高三上学期开学考试数学（理）试题辽宁省六校协作体2019-2020学年高三上学期开学考试数学（文）试卷2019届湖南省永州市祁阳县高三下学期第二次模拟考试理科数学试题
名校
8 . 已知函数
.
（1）若在
处导数相等，证明：
；
（2）若对于任意
，直线
与曲线
都有唯一公共点，求实数
的取值范围.
.（1）若
在 处导数相等，证明： ；（2）若对于任意
，直线 与曲线都有唯一公共点，求实数的取值范围.
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2018-10-12更新
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2288次组卷
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4卷引用：2019年全国高中数学联赛甘肃省预赛
2019·甘肃酒泉·一模
名校
9 . 已知函数
.
(1)试判断函数的单调性；
(2)设
，求在
上的最大值；
(3)试证明：对任意的
，不等式
成立.
.(1)试判断函数
的单调性；(2)设
，求在上的最大值；(3)试证明：对任意的
，不等式成立.
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16-17高三·山西运城·期中
名校
解题方法
10 . 已知函数
，其中为自然对数的底数.
(1)若函数
的导函数
在
上是增函数，求实数的最大值；
(2)求证：
，
.
，其中为自然对数的底数.(1)若函数
的导函数在上是增函数，求实数的最大值；(2)求证：
，.
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