1 . 已知函数，且，．
(1)若，函数在区间上单调递增，求实数b的取值范围；
(2)证明：对于任意实数，．参考数据：．

2 . 已知函数，其中为自然对数的底数.
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)记，存在满足，证明：存在唯一极小值点；.

3 . 已知函数（）.
(1)当时，求的单调区间；
(2)若函数有两个不同的零点，，证明：．
（其中是自然对数的底数）

4 . 设m为实数，函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)当时，直线是曲线的切线，求的最小值；
(3)若方程有两个实数根，，证明：．

5 . 已知函数，其中为自然对数的底数，约为.
(1)求函数的极小值；
(2)若实数满足且，证明：.

6 . 已知函数.
(1)当时，求函数在点处的切线方程；
(2)当，求函数的最大值；
(3)若函数在定义域内有两个不相等的零点，证明：.

7 . 已知函数.
(1)当时，证明：：
(2)若函数在上单调递减，求的取值范围.

8 . 已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)设的导函数为，若存在，使得成立，求证：.

9 . （1）已知函数，，.
（i）记.证明：．
（ii）若，记此时的两个零点为.证明：；
（2）某药物研究所为筛查某种超级细菌，需要检验血液是否为阳性，现有份血液样本，每个样本取到的可能性相等，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验次；（2）混合检验，将其中（且）份血液样本分别取样混合在一起检验，若检验结果为阴性，则这份的血液全为阴性，因而这份血液样本只要检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k份再逐份检验，此时这份血液的检验次数总共为次.假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为现取其中（且）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为若关于的函数关系式与抗生素计量相关，其中是不同的正实数，满足，对任意的，都有
（i）证明：为等比数列；
（ii）当时，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求的最大值.
参考数据：，，，，

10 . 已知函数.
(1)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；
(2)设函数，讨论函数的单调性并判断是否有极值，若有极值则求出极值；若没有极值，请说明理由（注：是自然对数的底数）.