1 . 拉格朗日中值定理是微积分学的基本定理之一，它与导数和函数的零点有关，其表达如下：若函数在区间连续，在区间上可导，则存在，使得，我们将称为函数在上的“中值点”．已知函数，，．
(1)求在上的中值点的个数；
(2)若对于区间内任意两个不相等的实数，，都有成立，求实数t的取值范围．
(3)当且时，证明：．

2 . 已知函数．
(1)若恰有两个极值点，求实数的取值范围；
(2)若的两个极值点分别为，证明:．

3 . 函数.
(1)求函数的单调增区间；
(2)当时，若，求证：．

4 . 已知函数(其中为自然对数的底数).
(1)当时，试求函数在上的最值；
(2)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围；
(3)设，证明：.

5 . 已知函数（）.
(1)证明：；
(2)若正项数列满足，且，记的前项和为，证明：（）.

6 . 已知函数.
(1)若，求证：当时，；
(2)讨论函数在区间上的零点个数.

7 . 已知，函数，记为函数的极值点.
(1)若是极小值点，证明：；
(2)若是极大值点，证明：.

8 . 已知，函数.
(1)证明：有且仅有一个极小值点；
(2)设是的唯一零点，证明：.

9 . 关于函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若在处的切线垂直于直线，对任意两个正实数，，且，有，求证：.

10 . 已知函数，为的导函数．
(1)当时，讨论函数的单调性
(2)已知，，若存在，使得成立，求证：．