1 . 已知函数
，
．
(1)判断函数
在区间
上的零点个数，并说明理由；
(2)函数
在区间
上的所有极值之和为
，证明：对于
．
，．(1)判断函数
在区间上的零点个数，并说明理由；(2)函数
在区间上的所有极值之和为，证明：对于．
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2 . 已知函数
.
(1)当
时，求的单调区间；
(2)当
时，设正项数列
满足：
，
①求证：
；
②求证：
.
.(1)当
时，求的单调区间；(2)当
时，设正项数列满足：，①求证：
；②求证：
.
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名校
3 . 函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)若函数有两个极值点
，曲线
上两点
，
连线斜率记为k，求证：
；
(3)盒子中有编号为1~100的100个小球（除编号外无区别），有放回的随机抽取20个小球，记抽取的20个小球编号各不相同的概率为p，求证：
．
．(1)讨论
的单调性；(2)若函数
有两个极值点，曲线上两点，连线斜率记为k，求证：；(3)盒子中有编号为1~100的100个小球（除编号外无区别），有放回的随机抽取20个小球，记抽取的20个小球编号各不相同的概率为p，求证：
．
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4 . 已知函数
，（
，
）.
(1)讨论函数
的单调性；
(2)若
，证明：
.
，（，）.(1)讨论函数
的单调性；(2)若
，证明：.
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5 . 已知正项数列
的前
项和为
，且
.
(1)求
和
的值，并求出数列的通项公式；
(2)证明：
；
(3)设
，求
的值（其中
表示不超过
的最大整数）.
的前项和为，且.(1)求
和的值，并求出数列的通项公式；(2)证明：
；(3)设
，求的值（其中表示不超过的最大整数）.
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2024·全国·模拟预测
解题方法
6 . 已知函数
．
(1)求函数在
上的值域；
(2)若方程
有两个不相等的解
，且
，求证：
．
．(1)求函数
在上的值域；(2)若方程
有两个不相等的解，且，求证：．
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7 . 已知函数
．
(1)求函数
的单调区间；
(2)若函数的两个极值点分别为，证明：
；
(3)设
，求证：当
时，
有且仅有2个不同的零点．
（参考数据：
）
．(1)求函数
的单调区间；(2)若函数
的两个极值点分别为，证明：；(3)设
，求证：当时，有且仅有2个不同的零点．（参考数据：
）
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解题方法
8 . 已知常数
，函数
.
(1)若
，求
的取值范围;
(2)若
、
是的零点，且
，证明:
.
，函数.(1)若
，求的取值范围;(2)若
、是的零点，且，证明:.
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9 . 已知函数
，其中
．
(1)若
，证明：
时，
；
(2)若函数
在其定义域内单调递增，求实数的值；
(3)已知数列
的通项公式为
，求证：
．
，其中．(1)若
，证明：时，；(2)若函数
在其定义域内单调递增，求实数的值；(3)已知数列
的通项公式为，求证：．
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10 . 对给定的在定义域内连续且存在导函数的函数，若对在定义域内的给定常数，存在数列满足在的定义域内且
，且对
在区间
的图象上有且仅有在
一个点处的切线平行于
和
的连线，则称数列为函数的“关联切线伴随数列”.
(1)若函数
，证明：
都存在“关联切线伴随数列”；
(2)若函数
，数列为函数
的“1关联切线伴随数列”，且
，求的通项公式；
(3)若函数
，数列
为函数
的“
关联切线伴随数列”，记数列的前项和为，证明：当
时，
.
，若对在定义域内的给定常数，存在数列满足在的定义域内且，且对在区间的图象上有且仅有在一个点处的切线平行于和的连线，则称数列为函数的“关联切线伴随数列”.(1)若函数
，证明：都存在“关联切线伴随数列”；(2)若函数
，数列为函数的“1关联切线伴随数列”，且，求的通项公式；(3)若函数
，数列为函数的“关联切线伴随数列”，记数列的前项和为，证明：当时，.
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