1 . 某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆的三条圆弧（劣弧）沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心（即三角形三条高线的交点）.如图，已知锐角
外接圆的半径为2，且三条圆弧沿三边翻折后交于点
.若
，则
___________ ；若
，则
的值为___________ .
外接圆的半径为2，且三条圆弧沿三边翻折后交于点.若，则，则的值为
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2022-07-21更新
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3920次组卷
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15卷引用：广东省东莞中学、广州二中、惠州一中、深圳实验、珠海一中、中山纪念中学2024届高三第四次六校联考数学试题
广东省东莞中学、广州二中、惠州一中、深圳实验、珠海一中、中山纪念中学2024届高三第四次六校联考数学试题辽宁省县级重点高中协作体2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题（已下线）6.4.3 余弦定理、正弦定理 （第1课时）余弦定理（分层作业）-【上好课】2022-2023学年高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第二册）2022年新高考原创密卷数学试题(四)福建师范大学附属中学2022-2023年高一下学期期中考试数学试题河北省衡水中学2023届高三第四次综合素养测评数学试题湖北省天门市2023届高三下学期5月适应性考试数学试题（已下线）模块四 专题1 小题入门夯实练2（北师大版)（已下线）期末专题05 解三角形小题综合-【备战期末必刷真题】河南省洛阳市部分学校2023-2024学年高三上学期三调考试数学试题湖南省长沙市雅礼中学2024届高三下学期月考（七）数学试题（已下线）信息必刷卷05（已下线）第八章 平面向量（压轴题专练）-单元速记·巧练（沪教版2020必修第二册）湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2023-2024学年高三下学期月考七数学试题（已下线）信息必刷卷04（江苏专用，2024新题型）
2 . 如图，测量河对岸的塔高
时，可以选与塔底
在同一水平面内的两个观测点
与
．现测得
，
，
，并在点测得塔顶
的仰角
为
，则塔高为______ ．
时，可以选与塔底在同一水平面内的两个观测点与．现测得，，，并在点测得塔顶的仰角为，则塔高为
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2022-07-15更新
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1074次组卷
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6卷引用：广东省肇庆市封开县广信中学2022-2023学年高一下学期第二次月考数学试题
广东省肇庆市封开县广信中学2022-2023学年高一下学期第二次月考数学试题重庆市第七中学校2021-2022学年高一下学期期末数学试题陕西省咸阳市武功县普集高级中学2022-2023学年高二上学期第一次月考数学试题余弦定理、正弦定理应用举例（已下线）第六章：平面向量及其应用 重点题型复习（2） - 【题型分类归纳】（已下线）模块四 专题5 期末重组综合练（重庆）
名校
解题方法
3 . 为提升城市旅游景观面貌，城建部门拟对一公园进行改造，已知原公园是直径为
百米的半圆，出入口在圆心处，点为一居民小区，
距离为2百米，按照设计要求，取圆弧上一点A，并以线段
为一边向圆外作等边三角形
，使改造之后的公园成四边形
，并将
区域建成免费开放的植物园，如图所示．设
．
(1)当
，求四边形的面积；
(2)当为何值时，线段
最长并求最长值
百米的半圆，出入口在圆心处，点为一居民小区，距离为2百米，按照设计要求，取圆弧上一点A，并以线段为一边向圆外作等边三角形，使改造之后的公园成四边形，并将区域建成免费开放的植物园，如图所示．设．(1)当
，求四边形的面积；(2)当
为何值时，线段最长并求最长值
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2022-07-08更新
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602次组卷
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3卷引用：广东省茂名市第一中学2022-2023学年奥校高一上学期期中数学试题
解题方法
4 . 在平面四边形中，
，
，
，
，交于点O，若
，则
的值为______ ，
的长为______ .
中，，，，，交于点O，若，则的值为的长为
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名校
解题方法
5 . 某大学科研团队在如下图所示的长方形区域内（包含边界）进行粒子撞击实验，科研人员在A、O两处同时释放甲、乙两颗粒子.甲粒子在A处按
方向做匀速直线运动，乙粒子在O处按
方向做匀速直线运动，两颗粒子碰撞之处记为点P，且粒子相互碰撞或触碰边界后爆炸消失.已知长度为6分米，O为中点.
(1)已知向量与的夹角为
，且
足够长.若两颗粒子成功发生碰撞，求两颗粒子运动路程之和的最大值；
(2)设向量与向量
的夹角为
（
），向量与向量
的夹角为
（
），甲粒子的运动速度是乙粒子运动速度的2倍.请问的长度至少为多少分米，才能确保对任意的
，总可以通过调整甲粒子的释放角度，使两颗粒子能成功发生碰撞？
内（包含边界）进行粒子撞击实验，科研人员在A、O两处同时释放甲、乙两颗粒子.甲粒子在A处按方向做匀速直线运动，乙粒子在O处按方向做匀速直线运动，两颗粒子碰撞之处记为点P，且粒子相互碰撞或触碰边界后爆炸消失.已知长度为6分米，O为中点.(1)已知向量
与的夹角为，且足够长.若两颗粒子成功发生碰撞，求两颗粒子运动路程之和的最大值；(2)设向量
与向量的夹角为（），向量与向量的夹角为（），甲粒子的运动速度是乙粒子运动速度的2倍.请问的长度至少为多少分米，才能确保对任意的，总可以通过调整甲粒子的释放角度，使两颗粒子能成功发生碰撞？
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2022-07-07更新
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676次组卷
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3卷引用：广东省汕尾市2021-2022学年高一下学期期末数学试题
名校
6 . 如图，某公园改建一个三角形池塘，
，
百米，
百米，现准备养一批观赏鱼供游客观赏.
(1)若在△ABC内部取一点P，建造连廊供游客观赏，方案一如图①，使得点P是等腰三角形PBC的顶点，且
，求连廊
的长（单位为百米）；
(2)若分别在AB，BC，CA上取点D，E，F，并建造连廊，使得△DEF变成池中池，放养更名贵的鱼类供游客观赏：方案二如图②，使得△DEF为正三角形，设
为图②中△DEF的面积，求的最小值；方案三如图③，使得DE平行于AB，且EF垂直于DE，设
为图③中△DEF的面积，求的取值范围.
，百米，百米，现准备养一批观赏鱼供游客观赏.(1)若在△ABC内部取一点P，建造连廊供游客观赏，方案一如图①，使得点P是等腰三角形PBC的顶点，且
，求连廊的长（单位为百米）；(2)若分别在AB，BC，CA上取点D，E，F，并建造连廊，使得△DEF变成池中池，放养更名贵的鱼类供游客观赏：方案二如图②，使得△DEF为正三角形，设
为图②中△DEF的面积，求的最小值；方案三如图③，使得DE平行于AB，且EF垂直于DE，设为图③中△DEF的面积，求的取值范围.
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2022-07-02更新
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2208次组卷
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8卷引用：广东省五校（广州市第二中学等）2021-2022学年高一下学期期末联考数学试题
解题方法
7 . 在中，
，则长为___________ .
中，，则长为
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2022-06-25更新
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472次组卷
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2卷引用：广东省深圳市2021-2022学年高二下学期期末联考模拟一数学试题
名校
8 . 如图，在中，，
，且点在线段
上．
(1)若
，求的长；
(2)若
，
，求
的面积．
中，，，且点在线段上．(1)若
，求的长；(2)若
，，求的面积．
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2022-06-13更新
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2034次组卷
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7卷引用：广东省广州市执信中学2023届高三上学期第二次月考数学试题
广东省广州市执信中学2023届高三上学期第二次月考数学试题广东省深圳实验学校高中部2022-2023学年高一下学期期中数学试题辽宁省辽南协作体2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题辽宁省沈阳市第三十一中学、丹东二中2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题辽宁省本溪市本溪县高级中学2022-2023学年高三上学期第一次月考数学试题（已下线）6.4.2 平面向量的应用（学案）-2022-2023学年高一数学一隅三反系列（人教A版2019必修第二册）（已下线）专题14 解三角形图形类问题-1
名校
解题方法
9 . 在中，内角
的对边分别为
，
．
(1)求角；
(2)是边上的点，若
，
，求
的值．
中，内角的对边分别为，．(1)求角
；(2)
是边上的点，若，，求的值．
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2022-06-06更新
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2149次组卷
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6卷引用：广东省揭阳市普宁市华侨中学2023届高三二模数学试题
解题方法
10 . 在
中，内角
，
，
所对的边分别为
，
，
，且
.
(1)求角；
(2)若
是内一点，
，
，
，
，求
．
中，内角，，所对的边分别为，，，且.(1)求角
；(2)若
是内一点，，，，，求．
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