1 . 已知为坐标原点，，.
(1)判断的形状，并给予证明；
(2)若，求证：、、三点共线；
(3)若是线段上靠近点的四等分点，求的坐标.

2 . 如图，设是半径为1的圆的内接正六边形，是圆上的动点.
   
(1)求的最大值；
(2)求证：为定值；
(3)对于平面中的点，存在实数与，使得，若点是正六边形内的动点（包含边界），求的最小值.

3 . 已知，，为椭圆上三个不同的点，满足，其中.记中点的轨迹为.
(1)求的方程；
(2)若直线交于，两点，交于，两点，求证：.

4 . 如图①在平面直角坐标系中，已知，，动点在线段上．
   
(1)求的最小值；
(2)以四边形为底面做四棱锥如图②，使平面，且，求证：平面平面．

5 . 如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得到，连结，，设为中点．

(1)若（），则__________；
(2)求；
(3)求证：．

6 . 设，且，．试用向量方法证明：．

7 . 在平面直角坐标系中，为坐标原点，对任意两个向量，，作，．当，不共线时，记以，为邻边的平行四边形的面积为；当，共线时，规定．
(1)分别根据下列已知条件求：
①，；②，；
(2)若向量，求证：；
(3)若A，B，C是以О为圆心的单位圆上不同的点，记，，．
（i）当时，求的最大值；
（ii）写出的最大值．（只需写出结果）

8 . 阅读材料：三角形的重心､垂心､内心和外心是与三角形有关的四个特殊点，它们与三角形的顶点或边都具有一些特殊的性质.
（一）三角形的“四心”
1.三角形的重心：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1.
2.三角形的垂心：三角形三边上的高的交点叫做三角形的垂心，垂心和顶点的连线与对边垂直.
3.三角形的内心：三角形三条内角平分线的交点叫做三角形的内心，也就是内切圆的圆心，三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r.
4三角形的外心：三角形三条边的垂直平分线的交点叫做三角形的外心，也就是三角形外接圆的圆心，它到三角形三个顶点的距离相等.
（二）三角形“四心”的向量表示
在中，角所对的边分别为.
1.三角形的重心：是的重心.
2.三角形的垂心：是的垂心.
3.三角形的内心：是的内心.
4.三角形的外心：是的外心.
研究三角形“四心”的向量表示，我们就可以把与三角形“四心”有关的问题转化为向量问题，充分利用平面向量的相关知识解决三角形的问题，这在一定程度上发挥了平面向量的工具作用，也很好地体现了数形结合的数学思想.
结合阅读材料回答下面的问题：

(1)在中，若，求的重心的坐标；
(2)如图所示，在非等腰的锐角中，已知点是的垂心，点是的外心.若是的中点，求证：.

9 . 数学探究：用向量法研究三角形的性质，向量集数与形于一身，每一种向量运算都有相应的几何意义，向量运算与几何图形性质的这种内在联系，是我们自然地想到：利用向量运算研究几何图形的性质，是否会更加方便，简捷呢？请求解下列问题：

(1)用向量方法证明：三条中线交于一点（称为三角形的重心）
(2)设三顶点的坐标分别为求重心的坐标.

10 . 平面直角坐标系中，点满足，且，点满足，且，其中.
(1)求的坐标，并证明点在直线上；
(2)记四边形的面积为，求的表达式；
(3)对于（2）中的，是否存在最小的正整数，使得对任意都有成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.