1 . 如图，在直角梯形中，为上靠近的三等分点，交于．

(1)用和表示；
(2)求证：．

2 . 如图，在中，分别是边上的动点.
   
(1)证明：；
(2)当分别是边的中点时，用表示.

3 . 如图，斜坐标系中，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，且，的夹角为，定义向量在斜坐标系中的坐标为有序数对，在斜坐标系中完成下列问题：

(1)若向量，的坐标分别为，，计算的大小；
(2)已知向量的坐标为，向量的坐标为，证明：若，则.

4 . 已知非零向量，不共线．
(1)如果，，，求证：，，三点共线；
(2)欲使和共线，试确定实数的值．

5 . 如图，在中，，，与相交于点M，设，.

(1)试用向量，表示；
(2)过点M作直线分别交线段，于点E，F，记，，求证：为定值.

6 . 锐角中，内角所对的边分别为，且，.
(1)求证：；
(2)将延长至，使得，记的内切圆与边相切于点，是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由.

7 . 如图，在中，已知.

(1)用向量分别表示与；
(2)证明：三点共线.

8 . 如图，在△ABC中，已知，，，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P．

   

(1)用向量的方法证明：；
(2)求的余弦值．

9 . 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”.如图，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.已知为线段的中点，设为中间小正方形内一点（不含边界）.若，则的取值范围为__________.

10 . 如图所示，在△ABO中，，，AD与BC交于点M．设，．

(1)试用向量，表示；
(2)在线段AC上取点E，在线段BD上取点F，使EF过点M，设，，其中，．证明：为定值，并求出该定值．