23-24高一下·全国·课前预习
1 . 已知向量
，
，
和实数λ，则：
（1）交换律：___________ ；
（2）数乘结合律：_______________ ；
（3）分配律：________________ .
注意：（1）向量的数量积不满足消去律；若，，均为非零向量，且
，但得不到
.
（2）
，因为
，
是数量积，是实数，不是向量，所以
与向量共线，
与向量共线，因此，
在一般情况下不成立．
（3）推论：
.
，，和实数λ，则：（1）交换律：
（2）数乘结合律：
（3）分配律：
注意：（1）向量的数量积不满足消去律；若
，，均为非零向量，且，但得不到.（2）
，因为，是数量积，是实数，不是向量，所以与向量共线，与向量共线，因此，在一般情况下不成立．（3）推论：
.
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23-24高一下·全国·课前预习
解题方法
2 . 设，是非零向量，它们的夹角是θ，
是与方向相同的单位向量，则：
（1）
_______ ；
（2）
_____ ；
（3）当与同向时，
_____ ；当与反向时，_____ ．特别地，
___ 或
；
（4）
_____ 
；
（5）
_____ ，其中θ是非零向量与的夹角．
，是非零向量，它们的夹角是θ，是与方向相同的单位向量，则：（1）
（2）
（3）当
与同向时，与反向时，；（4）
；（5）
与的夹角．
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23-24高一下·全国·课前预习
3 . 向量的夹角公式：设两非零向量
，
，与的夹角为θ，则
＝_______________ .
注意：由三角函数值cos θ 求角θ时，应注意角θ的取值范围是
.
，，与的夹角为θ，则＝注意：由三角函数值cos θ 求角θ时，应注意角θ的取值范围是
.
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4 . 如图，在直三棱柱
中， 
，
，则向量
与
的夹角是（ ）
中， ，，则向量与的夹角是（ ）
| A．30° | B．45° |
| C．60° | D．90° |
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21-22高一·全国·课前预习
解题方法
5 . 已知力
的大小
，在的作用下产生的位移
的大小为
，与的夹角为60°，则做的功为（ ）
的大小，在的作用下产生的位移的大小为，与的夹角为60°，则做的功为（ ）| A．7 | B．10 | C．14 | D．70 |
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2024-03-02更新
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300次组卷
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4卷引用：6.4.2向量在物理中的应用举例（导学案）-2021-2022学年高一数学同步备课 (人教A版2019 必修第二册)
（已下线）6.4.2向量在物理中的应用举例（导学案）-2021-2022学年高一数学同步备课 (人教A版2019 必修第二册)（已下线）6.4.1平面几何中的向量方法+6.4.2向量在物理中的应用举例【第一课】“上好三节课，做好三套题“高中数学素养晋级之路（已下线）6.4.2 向量在物理中的应用举例 （分层作业）-【上好课】（已下线）6.4.2 向量在物理中的应用举例——随堂检测
6 . 古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点
、
的距离之比为定值
（
且
）的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆，在平面直角坐标系
中，
、
，点
满足
，则
的最小值为___________ .
、的距离之比为定值（且）的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆，在平面直角坐标系中，、，点满足，则的最小值为
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2023-08-02更新
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1019次组卷
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11卷引用：2.1 圆的方程（八大题型）-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练（苏教版2019选择性必修第一册）
（已下线）2.1 圆的方程（八大题型）-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练（苏教版2019选择性必修第一册）上海外国语大学附属浦东外国语学校2022-2023学年高二下学期期末数学试题（已下线）第2章 圆与方程章末题型归纳总结（2）黑龙江省牡丹江市第一高级中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题内蒙古自治区优质高中联考2023-2024学年高二上学期11月期中数学试题广东省清远市阳山县南阳中学2023-2024学年高二上学期第二次月考（期中）数学试题吉林省白山市2023-2024学年高二上学期1月期末教学质量监测数学试题江西省上饶市广丰区南山中学2023-2024学年高二上学期期末模拟数学试题（已下线）专题04 与圆有关的轨迹方程问题【考题猜想】-2023-2024学年高二数学上学期期中考点大串讲（人教A版2019选择性必修第一册）（已下线）期末精确押题之填空题(40题）-2023-2024学年高二数学上学期《考点·题型·难点》期末高效复习（人教A版2019）（已下线）专题3 阿波罗尼斯圆及其应用【讲】（压轴小题大全）
21-22高一·全国·课前预习
解题方法
7 . 已知向量
满足
，
，且与夹角为30°，那么等于（ ）
满足，，且与夹角为30°，那么等于（ ）| A．1 | B． | C．3 | D． |
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2023-10-10更新
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1266次组卷
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7卷引用：6.2.4向量的数量积（导学案）-【新教材精创】 2021-2022学年高一数学同步备课 (人教A版2019 必修第二册)
（已下线）6.2.4向量的数量积（导学案）-【新教材精创】 2021-2022学年高一数学同步备课 (人教A版2019 必修第二册)北京市海淀区清华志清中学2023-2024学年高二上学期第一次月考练习数学试题（已下线）第02讲 平面向量的运算-【寒假预科讲义】（人教A版2019必修第一册）（已下线）第6.2.4讲 向量的数量积与夹角（第1课时）-精讲精练宝典（已下线）8.1.1向量数量积的概念-同步精品课堂（人教B版2019必修第三册）（已下线）8.1.1-8.1.2 向量数量积的概念、向量数量积的运算律-【帮课堂】（人教B版2019必修第三册）北京市丰台区2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题（A卷）
名校
解题方法
8 . 若
，且
，求与
的夹角
，且，求与的夹角
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2023-07-09更新
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141次组卷
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6卷引用：第3课时 课前 向量的减法运算
名校
9 . 在
中，
为中线
上的一个动点，若
，则
的取值范围是_____ ．
中，为中线上的一个动点，若，则的取值范围是
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2022-12-12更新
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946次组卷
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10卷引用：6.4.2 平面向量的应用（学案）-2022-2023学年高一数学一隅三反系列（人教A版2019必修第二册）
（已下线）6.4.2 平面向量的应用（学案）-2022-2023学年高一数学一隅三反系列（人教A版2019必修第二册）上海市第三女子中学2021-2022学年高一下学情期末数学试题（已下线）第11讲 平面几何的向量方法（已下线）6.4.1-6.4.2 平面几何中的向量方法、向量在物理中的应用举例2-2022-2023学年高一数学《考点·题型·技巧》精讲与精练高分突破系列（人教A版2019必修第二册）（已下线）第06讲 向量应用（已下线）6.4.1 平面几何中的向量方法（分层作业）-【上好课】2022-2023学年高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第二册）（已下线）9.4 向量的应用2-2022-2023学年高一数学《考点·题型·技巧》精讲与精练高分突破系列（苏教版2019必修第二册）（已下线）平面向量专题：平面向量中的最值范围问题-【题型分类归纳】2022-2023学年高一数学同步讲与练(人教A版2019必修第二册)上海市进才中学2022-2023学年高一下学期期末数学试题（已下线）专题02 平面向量-《期末真题分类汇编》(上海专用）
名校
解题方法
10 . 已知单位向量
满足
，则向量的夹角为______ ．
满足，则向量的夹角为
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