1 . 已知双曲线的离心率，虚轴的一个端点与其左、右两焦点构成的三角形的面积为．
(1)求的标准方程；
(2)若直线与的左、右两支分别交于两点，
（i）当直线不过的两焦点时，求证：与的周长相等；
（ii）当时，若以线段为直径的圆过双曲线的右焦点，求的值．

2 . 三阶行列式是解决复杂代数运算的算法，其运算法则如下：若，则称为空间向量与的叉乘，其中，， 为单位正交基底. 以 为坐标原点、分别以，，的方向为 轴、 轴、 轴的正方向建立空间直角坐标系，已知，是空间直角坐标系中异于 的不同两点
(1)①若，，求；
②证明.
(2)记的面积为 ，证明：.
(3)证明：的几何意义表示以为底面、为高的三棱锥体积的倍.

3 . 已知椭圆的左、右焦点为，，且经过点，点为椭圆的右顶点，直线与椭圆交于（异于点）两点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若以为直径的圆过点，求证直线过定点，并求该定点坐标.

4 . 已知向量．
(1)求证：；
(2)若存在不为0的实数和，使，满足，试求此时的最小值．

5 . 如图，已知动圆M过定点且与y轴相切，点F关于圆心M的对称点为，点的轨迹为H.

(1)求曲线H的方程；
(2)一条直线经过点F，且交曲线H于A，B两点，点C为直线上的动点.求证：不可能是钝角.

6 . 如图，为半圆的直径，，为上一点（不含端点）.

(1)用向量的方法证明；
(2)若是上更靠近点的三等分点，为上的任意一点（不含端点），求的最大值.

7 . 在锐角△ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c，设向量，，且.
(1)求证：
(2)求的取值范围.

8 . 已知，请判断与的大小，并用向量方法证明所得的结论．

9 . 已知的内角，，所对的边分别为，，．向量，，．
(1)若，求证：为等腰三角形；
(2)若，，求的面积．

10 . 在平面直角坐标系中，已知椭圆的左､右顶点分别为，，上顶点为，的面积为2，点满足.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点且斜率不为0的直线与椭圆自左向右依次交于，两点，为线段上一点，且，设直线与直线的斜率分别为，，求证：为定值.