1 . 如图，边长为1的正三角形ABC的中心为O，过点O的直线与边AB，AC分别交于点M，N．
   
(1)求证：的值为常数；
(2)求的取值范围．

2 . 如图，AB为半圆O的直径，，C，D为（不含端点）上两个不同的动点.
   
(1)若C是上更靠近点B的三等分点，D是上更靠近点A的三等分点，用向量方法证明：且.
(2)若与共线，求面积的最大值.

3 . 在锐角中，，点为的外心.
(1)若，求的最大值；
(2)若，
（i）求证：；
（ii）求的取值范围.

4 . 如图，在直角三角形ABC中，，，，，，其中，，设DE中点为M，AB中点为N．

(1)若，求证：C、M、N三点共线；
(2)若，求的最小值．

5 . 17世纪法国数学家费马曾提出这样一个问题：怎样在一个三角形中求一点，使它到每个顶点的距离之和最小？现已证明：在中，若三个内角均小于，当点满足时，则点到三角形三个顶点的距离之和最小，点被人们称为费马点.根据以上性质，已知为平面内任意一个向量，和是平面内两个互相垂直的向量，，则的最小值是（       ）

A．

B．

C．

D．

6 . 如图，在的边上各自做匀速运动的点D，E，F，当时分别从点A，B，C出发，以各自的定速度向点B，C，A前进，当时分别到达点B，C，A．

（1）证明：在运动过程中的重心保持不变；
（2）若的面积为S，求的面积的最小值．

7 . 如图，在△ABC的边上做匀速运动的点D，E，F，当t＝0时分别从点A，B，C出发，各以定速度向点B，C，A前进，当t＝1时分别到达点B，C，A．

（1）证明：在运动过程中，△DEF的重心保持不变；
（2）若△ABC的面积为S，求△DEF的面积的最小值．

8 . 如图,M是矩形ABCD的边CD上的一点,AC与BM交于点N,BN=BM.

(1)求证:M是CD的中点;
(2)若AB=2,BC=1,H是BM上异于点B的一动点,求的最小值.

9 . 平面上的两个向量，满足，，且，.向量，且.
(1)如果点为线段的中点，求证： ；
(2)求的最大值，并求此时四边形面积的最大值.