1 . 已知数列满足，，，．
（Ⅰ）求证：数列为等差数列；
（Ⅱ）设数列的前项和．证明：．

2 . 已知数列的前项和（为正整数）.
（1）令，求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）令，试比较与3的大小，并予以证明.

3 . 已知是数列的前项和，并且，对任意正整数，，设（）.
（1）证明：数列是等比数列，并求的通项公式；
（2）设，求证：数列不可能为等比数列.

4 . 已知是数列的前n项和，并且，对任意正整数n，；设
.
(Ⅰ) 证明：数列是等比数列，并求的通项公式；
(Ⅱ) 设，求证: 数列不可能为等比数列．

5 . 已知数列，，其前项和满足，其中.
（1）设，证明：数列是等差数列；
（2）设，为数列的前项和，求证：；
（3）设（为非零整数，），试确定的值，使得对任意，都有成立.

6 . 已知等差数列的前n项和为，，，是各项均为正数的等比数列，，且.
(1)求和的通项公式；
(2)设，数列的前n项和为，证明：.

7 . 学校食堂为了减少排队时间，从开学第天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐.某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，若他前天选择了米饭套餐，则第天选择米饭套餐的概率为；若他前天选择了面食套餐，则第天选择米饭套餐的概率为.已知他开学第天中午选择米饭套餐的概率为.
(1)求该同学开学第天中午选择米饭套餐的概率；
(2)记该同学开学第天中午选择米饭套餐的概率为证明：当时，.

9 . 设函数.
(1)讨论函数的单调性.
(2)设数列满足，证明：数列是单调递增数列，且，（其中为自然对数的底）.

10 . 已知数列的前项和为，，且.
(1)求的通项公式；
(2)若，数列的前项和为，求证：.