1 . 已知是等差数列，．
(1)求的通项公式和．
(2)设是等比数列，且对任意的，当时，则，
（Ⅰ）当时，求证：；
（Ⅱ）求的通项公式及前项和．

2 . 已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)证明：当时，．

3 . 如果已知有两个相等的实数根，求证：a，b，c成等差数列.

4 . 已知是等差数列，是公比为q的等比数列，，，记为数列的前n项和.
(1)若（m，k是大于2正整数），求证：；
(2)若（i是某一正整数），求证：q是整数，且数列中每一项都是数列中的项；
(3)是否存在这样的正数q，使等比数列中有三项成等差数列？若存在，写出一个q的值，并加以说明；若不存在，请说明理由.

5 . 若，求证：，，成等差数列．

6 . 设．
(1)证明：不等式对所有的正整数n都成立；
(2)设，用定义证明：．

8 . 设数列满足：，，证明：为等差数列的充分必要条件是为等差数列且．

9 . 在个不同数的排列中，若时（即前面某数大于后面某数），则称与构成一个逆序．一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数．记排列的逆序数为，如排列21的逆序数，排列321的逆序数，排列4321的逆序数．
(1)求、，并写出的表达式；
(2)令，证明：．

10 . 已知数列是首项为且公比q不等于1的等比数列，是其前n项的和，成等差数列．
(1)证明：成等比数列；
(2)求和．