1 . 已知各项均不为0的数列满足(是正整数),,定义函数,是自然对数的底数.
(1)求证:数列是等差数列,并求数列的通项公式;
(2)记函数,其中.
(i)证明:对任意,;
(ii)数列满足,设为数列的前项和.数列的极限的严格定义为:若存在一个常数,使得对任意给定的正实数(不论它多么小),总存在正整数m满足:当时,恒有成立,则称为数列的极限.试根据以上定义求出数列的极限.
(1)求证:数列是等差数列,并求数列的通项公式;
(2)记函数,其中.
(i)证明:对任意,;
(ii)数列满足,设为数列的前项和.数列的极限的严格定义为:若存在一个常数,使得对任意给定的正实数(不论它多么小),总存在正整数m满足:当时,恒有成立,则称为数列的极限.试根据以上定义求出数列的极限.
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名校
2 . 定义:若数列满足,存在实数,对任意,都有,则称数列有上界,是数列的一个上界,已知定理:单调递增有上界的数列收敛(即极限存在).
(1)数列是否存在上界?若存在,试求其所有上界中的最小值;若不存在,请说明理由;
(2)若非负数列满足,(),求证:1是非负数列的一个上界,且数列的极限存在,并求其极限;
(3)若正项递增数列无上界,证明:存在,当时,恒有.
(1)数列是否存在上界?若存在,试求其所有上界中的最小值;若不存在,请说明理由;
(2)若非负数列满足,(),求证:1是非负数列的一个上界,且数列的极限存在,并求其极限;
(3)若正项递增数列无上界,证明:存在,当时,恒有.
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2019-08-16更新
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879次组卷
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6卷引用:上海市复旦大学附属中学2018-2019学年高三下学期期末考试数学试题
上海市复旦大学附属中学2018-2019学年高三下学期期末考试数学试题上海市复旦大学附中2018-2019学年高三下学期5月月考数学试题2019年上海市复旦附中高三5月模拟数学试题(已下线)4.4数学归纳法的应用(第2课时)(作业)(夯实基础+能力提升)-【教材配套课件+作业】2022-2023学年高二数学精品教学课件(沪教版2020选择性必修第一册)(已下线)第4章 数列(基础、典型、易错、压轴)-【满分全攻略】2022-2023学年高二数学下学期核心考点+重难点讲练与测试(沪教版2020选修一+选修二)(已下线)第10讲 数学归纳法与数列综合应用-2
解题方法
3 . 已知数列的前项和为,,.
(1)计算:,,,并猜想数列的通项公式;
(2)用数学归纳法来证明(1)中猜想;
(3)记,求.
(1)计算:,,,并猜想数列的通项公式;
(2)用数学归纳法来证明(1)中猜想;
(3)记,求.
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4 . 如图,直线与抛物线相交于不同的两点,且(为正常数),线段中点为.设是与直线平行且与抛物线恰有唯一交点的直线,记该交点为.
(1)用表示出点的坐标,并证明垂直于轴;
(2)求的面积(只与有关,与无关);
(3)张三同学在完成上述两小题后,分别连接,再作与分别平行且与抛物线交点唯一的直线,交点分别为,他立即写出了的面积,由此求出了直线与抛物线所围成图形的面积,你认为张三能做到吗?若能,请你也求出该图形的面积;若不能,请说明理由.
(1)用表示出点的坐标,并证明垂直于轴;
(2)求的面积(只与有关,与无关);
(3)张三同学在完成上述两小题后,分别连接,再作与分别平行且与抛物线交点唯一的直线,交点分别为,他立即写出了的面积,由此求出了直线与抛物线所围成图形的面积,你认为张三能做到吗?若能,请你也求出该图形的面积;若不能,请说明理由.
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22-23高二上·上海·期中
解题方法
5 . 已知点在直线上,为直线l与y轴的交点,等差数列的公差为1().
(1)求数列,的通项公式;
(2)设,求的值;
(3)若,且,求证:数列为等比数列,并求的通项公式.
(1)求数列,的通项公式;
(2)设,求的值;
(3)若,且,求证:数列为等比数列,并求的通项公式.
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2022高二·上海·专题练习
解题方法
6 . 设数列{an}的前n项和为Sn.
(1)若{an}是等比数列,a2=,S2=,求;
(2)若{an}是等差数列,a1=1,d=4,若Sk是数列{an}中的项,求所有满足条件的正整数k组成的集合;
(3)若数列{an}满足a1=1且,是否存在无穷数列{an},使得a2022=﹣2021?若存在,写出一个这样的无穷数列(不需要证明它满足条件);若不存在,说明理由.
(1)若{an}是等比数列,a2=,S2=,求;
(2)若{an}是等差数列,a1=1,d=4,若Sk是数列{an}中的项,求所有满足条件的正整数k组成的集合;
(3)若数列{an}满足a1=1且,是否存在无穷数列{an},使得a2022=﹣2021?若存在,写出一个这样的无穷数列(不需要证明它满足条件);若不存在,说明理由.
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真题
解题方法
7 . 某公司全年的利润为b元,其中一部分作为奖金发给n位职工,奖金分配方案如下:首先将职工按工作业绩(工作业绩均不相同)从大到小,由1到n排序,第1位职工得奖金元,然后再将余额除以n发给第2位职工,按此方法将奖金逐一发给每位职工,并将最后剩余部分作为公司发展基金.
(1)设为第k位职工所得奖金额,试求,并用和表示(不必证明);
(2)证明,并解释此不等式关于分配原则的实际意义;
(3)发展基金与n和b有关,记为,对常数b,当n变化时,求.
(1)设为第k位职工所得奖金额,试求,并用和表示(不必证明);
(2)证明,并解释此不等式关于分配原则的实际意义;
(3)发展基金与n和b有关,记为,对常数b,当n变化时,求.
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名校
8 . 设数列的前项和为.
(1)若是等比数列,,,求;
(2)若是等差数列,,,若是数列中的项,求所有满足条件的正整数组成的集合;
(3)若数列满足且,是否存在无穷数列,使得?若存在,写出一个这样的无穷数列(不需要证明它满足条件);若不存在,说明理由.
(1)若是等比数列,,,求;
(2)若是等差数列,,,若是数列中的项,求所有满足条件的正整数组成的集合;
(3)若数列满足且,是否存在无穷数列,使得?若存在,写出一个这样的无穷数列(不需要证明它满足条件);若不存在,说明理由.
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名校
解题方法
9 . 已知实数列满足:,点(在曲线上.
(1)当且时,求实数列的通项公式;
(2)在(1)的条件下,若表示不超过实数t的最大整数,令,是数列的前n项和,求的值;
(3)当,时,若存在,且对恒成立,求证:.
(1)当且时,求实数列的通项公式;
(2)在(1)的条件下,若表示不超过实数t的最大整数,令,是数列的前n项和,求的值;
(3)当,时,若存在,且对恒成立,求证:.
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10 . 若数列同时满足下列两个条件,则称数列具有“性质A”.
①();②存在实数,使得对任意,有成立.
(1)设,试判断是否具有“性质A”;
(2)设递增的等比数列的前n项和为,若,证明:数列具有“性质A”,并求出A的取值范围;
(3)设数列的通项公式,若数列具有“性质A”,其满足条件的A的最大值,求的值.
①();②存在实数,使得对任意,有成立.
(1)设,试判断是否具有“性质A”;
(2)设递增的等比数列的前n项和为,若,证明:数列具有“性质A”,并求出A的取值范围;
(3)设数列的通项公式,若数列具有“性质A”,其满足条件的A的最大值,求的值.
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2022-06-23更新
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621次组卷
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4卷引用:上海市静安区2022届高考二模数学试题