解题方法
1 . 将数列中项数为平方数的项依次选出构成数列,此时数列中剩下的项构成数列;再将数列中项数为平方数的项依次选出构成数列,剩下的项构成数列;….如此操作下去,将数列中项数为平方数的项依次选出构成数列,剩下的项构成数列.
(1)分别写出数列的前2项;
(2)记数列的第项为.求证:当时,;
(3)若,求的值.
(1)分别写出数列的前2项;
(2)记数列的第项为.求证:当时,;
(3)若,求的值.
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2 . 对于数列,如果存在正整数,使得对任意,都有,那么数列就叫做周期数列,叫做这个数列的周期.若周期数列,满足:存在正整数,对每一个,都有,我们称数列和为“同根数列”.
(1)判断下列数列是否为周期数列.如果是,写出该数列的周期,如果不是,说明理由;
①;②
(2)若和是“同根数列”,且周期的最小值分别是3和5,求证:;
(3)若和是“同根数列”,且周期的最小值分别是和,求的最大值.
(1)判断下列数列是否为周期数列.如果是,写出该数列的周期,如果不是,说明理由;
①;②
(2)若和是“同根数列”,且周期的最小值分别是3和5,求证:;
(3)若和是“同根数列”,且周期的最小值分别是和,求的最大值.
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3 . 若有穷数列满足:,则称此数列具有性质.
(1)若数列具有性质,求的值;
(2)设数列A具有性质,且为奇数,当时,存在正整数,使得,求证:数列A为等差数列;
(3)把具有性质,且满足(为常数)的数列A构成的集合记作.求出所有的,使得对任意给定的,当数列时,数列A中一定有相同的两项,即存在.
(1)若数列具有性质,求的值;
(2)设数列A具有性质,且为奇数,当时,存在正整数,使得,求证:数列A为等差数列;
(3)把具有性质,且满足(为常数)的数列A构成的集合记作.求出所有的,使得对任意给定的,当数列时,数列A中一定有相同的两项,即存在.
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2024-01-19更新
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1381次组卷
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3卷引用:北京市东城区2024届高三上学期期末统一检测数学试题
名校
4 . 观察数列:①;②正整数依次被4除所得余数构成的数列;③.
(1)对以上这些数列所共有的周期特征,请你类比周期函数的定义,为这类数列下一个周期数列的定义:对于数列,如果________________,对于一切正整数都满足___________________成立,则称数列是以为周期的周期数列;
(2)若数列满足,为的前项和,且,求数列的周期,并求;
(3)若数列的首项,,且,判断数列是否为周期数列,并证明你的结论.
(1)对以上这些数列所共有的周期特征,请你类比周期函数的定义,为这类数列下一个周期数列的定义:对于数列,如果________________,对于一切正整数都满足___________________成立,则称数列是以为周期的周期数列;
(2)若数列满足,为的前项和,且,求数列的周期,并求;
(3)若数列的首项,,且,判断数列是否为周期数列,并证明你的结论.
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5 . ,,递增数列前项和为.
(1)证明:为等比数列并求;
(2)记,为使成立的最小正整数,求.
(1)证明:为等比数列并求;
(2)记,为使成立的最小正整数,求.
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名校
6 . 已知数列,,,满足且,2,,,数列,,,满足,2,,,其中,,2,,表示,,,中与不相等的项的个数.
(1)数列,1,2,3,4,请直接写出数列;
(2)证明:,2,,
(3)若数列A相邻两项均不相等,且与A为同一个数列,证明:,2,,.
(1)数列,1,2,3,4,请直接写出数列;
(2)证明:,2,,
(3)若数列A相邻两项均不相等,且与A为同一个数列,证明:,2,,.
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2023-01-11更新
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420次组卷
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2卷引用:北京市第二中学2021-2022学年高二下学期期末数学试题
名校
解题方法
7 . 对于给定数列,若存在一个常数,对于任意,使得成立,则称数列是周期数列,是数列的一个周期,若是数列的周期,且均不是数列的周期,则称为数列的最小周期.已知无穷数列的前项和为,满足:对一切成立
(1)若数列是最小周期为2的周期数列,求数列的通项公式;
(2)求证:数列不可能是周期为2021的周期数列;
(3)数列是否可能是最小周期为2020的周期数列?若不可能,请说明理由;若可能,求最小的正实数,使得对任意最小周期为2020的周期数列,均有.
(1)若数列是最小周期为2的周期数列,求数列的通项公式;
(2)求证:数列不可能是周期为2021的周期数列;
(3)数列是否可能是最小周期为2020的周期数列?若不可能,请说明理由;若可能,求最小的正实数,使得对任意最小周期为2020的周期数列,均有.
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2022高二·全国·专题练习
8 . 已知数列满足:,或,对一切都成立.记为数列的前项和.若存在一个非零常数,对于任意,成立,则称数列为周期数列,是一个周期.
(1)求、所有可能的值,并写出的最小可能值;(不需要说明理由)
(2)若,且存在正整数,,使得与均为整数,求的值;
(3)记集合,求证:数列为周期数列的必要非充分条件为“集合为无穷集合”.
(1)求、所有可能的值,并写出的最小可能值;(不需要说明理由)
(2)若,且存在正整数,,使得与均为整数,求的值;
(3)记集合,求证:数列为周期数列的必要非充分条件为“集合为无穷集合”.
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名校
9 . 对于无穷数列,若存在正整数,使得对一切正整数都成立,则称无穷数列是周期为的周期数列.
(1)已知无穷数列是周期为的周期数列,且,,是数列的前项和,若对一切正整数恒成立,求常数的取值范围;
(2)若无穷数列和满足,求证:“是周期为的周期数列”的充要条件是“是周期为的周期数列,且”;
(3)若无穷数列和满足,且,是否存在非零常数,使得是周期数列?若存在,请求出所有满足条件的常数;若不存在,请说明理由.
(1)已知无穷数列是周期为的周期数列,且,,是数列的前项和,若对一切正整数恒成立,求常数的取值范围;
(2)若无穷数列和满足,求证:“是周期为的周期数列”的充要条件是“是周期为的周期数列,且”;
(3)若无穷数列和满足,且,是否存在非零常数,使得是周期数列?若存在,请求出所有满足条件的常数;若不存在,请说明理由.
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2022-11-05更新
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668次组卷
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7卷引用:上海市晋元高级中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题
上海市晋元高级中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题(已下线)专题17 数列探索型、存在型问题的解法 微点2 数列存在型问题的解法(已下线)高二下期中真题精选(压轴40题专练)-【满分全攻略】2022-2023学年高二数学下学期核心考点+重难点讲练与测试(沪教版2020选修一+选修二)(已下线)期中真题必刷压轴50题专练-【满分全攻略】2023-2024学年高二数学同步讲义全优学案(沪教版2020必修第三册)(已下线)第4章 数列 单元综合检测(重点)-2023-2024学年高二数学同步精品课堂(沪教版2020选择性必修第一册)(已下线)专题22 新高考新题型第19题新定义压轴解答题归纳(9大核心考点)(讲义)(已下线)微考点4-1 新高考新试卷结构压轴题新定义数列试题分类汇编
10 . 回答下列问题
(1)设为正奇数,,,…,是1,2,…,的任意一个排列,证明:必为偶数.
(2)证明:的小数点后一位数字是9.
(1)设为正奇数,,,…,是1,2,…,的任意一个排列,证明:必为偶数.
(2)证明:的小数点后一位数字是9.
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