1 . 已知为数列的前项和，，，记.
(1)求数列的通项公式；
(2)已知，记数列的前项和为，求证：.

2 . 已知数列的前n项和为，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．

3 . 记正项数列的前项和为，已知.
(1)求；
(2)若，数列的前项和为，求的值.

4 . 已知数列的前n项和为，且，数列为等差数列，，．
(1)当时，求n的最小值；
(2)求数列的前n项和．

5 . 已知数列满足．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．

6 . 已知正项数列的前项和为，.
(1)记，证明：数列的前项和；
(2)若，求证：数列为等差数列，并求的通项公式.

7 . 已知数列的前项和为，满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，证明：.

8 . 已知函数的图象经过坐标原点，且，数列的前项和（）.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前项和；
(3)令，若（为非零整数，），试确定的值，使得对任意，都有成立.

9 . 已知数列的前项和为，且.
(1)证明：数列为等比数列，并求出的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.

10 . 新宁崀山景区是世界自然遗产､国家5A级景区，其中“八角寨”景区和“天下第一巷”景区是新宁崀山景区的两张名片.为了合理配置旅游资源，现对已游览“八角寨”景区且尚未游览“天下第一巷”景区的游客进行随机调查，若不游览“天下第一巷”景区记2分，若继续游览“天下第一巷”景区记4分，假设每位游客选择游览“天下第一巷”景区的概率均为，游客之间选择意愿相互独立.
(1)从游客中随机抽取2人，记总得分为随机变量，求的数学期望；
(2)（i）记表示“从游客中随机抽取人，总分恰为分”的概率，求的前4项和；
（ii）在对游客进行随机问卷调查中，记表示“已调查过的累计得分恰为分”的概率，探求与的关系，并求数列的通项公式.