1 . 对于项数为
的数列
，若数列
满足
，
，其中，
表示数集
中最大的数，则称数列是的
数列.
(1)若各项均为正整数的数列的数列是
，写出所有的数列；
(2)证明：若数列中存在
使得
，则存在
使得
成立；
(3)数列是的数列，数列
是
的数列，定义
其中
．求证：
为单调递增数列的充要条件是
为单调递增数列．
的数列，若数列满足，，其中，表示数集中最大的数，则称数列是的数列.(1)若各项均为正整数的数列
的数列是，写出所有的数列；(2)证明：若数列
中存在使得，则存在使得成立；(3)数列
是的数列，数列是的数列，定义其中．求证：为单调递增数列的充要条件是为单调递增数列．
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2 . 给定正整数
，设数列
是
的一个排列，对
，
表示以为首项的递增子列的最大长度，
表示以为首项的递减子列的最大长度.
(1)若
，
，
，
，
，求
和
；
(2)求证：
，
；
(3)求
的最小值.
，设数列是的一个排列，对，表示以为首项的递增子列的最大长度，表示以为首项的递减子列的最大长度.(1)若
，，，，，求和；(2)求证：
，；(3)求
的最小值.
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昨日更新
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300次组卷
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2卷引用：北京市中国人民大学附属中学2024届高三下学期5月热身练习数学试题(三模)
名校
解题方法
3 . 对于数列
，若满足
（
，p是与n无关的常数），则称数列是“比等差数列”，常数p称为此数列的“比差”．
(1)已知数列
，
，判断数列，
是否为“比等差数列”；
(2)证明“比差”为零的“比等差数列”一定是等比数列；
(3)“比差”为正的“比等差数列”是否一定是递增数列？如果是，给出证明；如果不是，请举出反例．
，若满足（，p是与n无关的常数），则称数列是“比等差数列”，常数p称为此数列的“比差”．(1)已知数列
，，判断数列，是否为“比等差数列”；(2)证明“比差”为零的“比等差数列”一定是等比数列；
(3)“比差”为正的“比等差数列”是否一定是递增数列？如果是，给出证明；如果不是，请举出反例．
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4 . 对于无穷数列、，
，若
，则称数列是数列的“收缩数列”，其中
、
分别表示
中的最大项和最小项．
(1)写出数列
的“收缩数列”；
(2)证明：数列的“收缩数列”仍是．
、，，若，则称数列是数列的“收缩数列”，其中、分别表示中的最大项和最小项．(1)写出数列
的“收缩数列”；(2)证明：数列
的“收缩数列”仍是．
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2022-06-12更新
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207次组卷
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3卷引用：北京第十二中学2021-2022学年高二6月份阶段性测试数学试题
5 . 治理垃圾是
地改善环境的重要举措．去年地产生的垃圾量为200万吨，通过扩大宣传、环保处理等一系列措施，预计从今年开始，连续5年，每年的垃圾排放量比上一年减少20万吨，从第6年开始，每年的垃圾排放量为上一年的
.
(1)写出地的年垃圾排放量与治理年数
的表达式；
(2)设
为从今年开始
年内的年平均 垃圾排放量，证明数列
为递减数列；
(3)通过至少 几年的治理，地的年平均垃圾排放量能够低于100万吨？
地改善环境的重要举措．去年地产生的垃圾量为200万吨，通过扩大宣传、环保处理等一系列措施，预计从今年开始，连续5年，每年的垃圾排放量比上一年减少20万吨，从第6年开始，每年的垃圾排放量为上一年的.(1)写出
地的年垃圾排放量与治理年数的表达式；(2)设
为从今年开始年内的为递减数列；(3)通过
地的年平均垃圾排放量能够低于100万吨？
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2022-01-15更新
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411次组卷
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2卷引用：北京市大兴区2021-2022学年高二上学期期末检测数学试题
6 . 已知{an}是由正整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为An，最小值记为Bn，令
．
（Ⅰ）若an＝2n（n＝1，2，3，…），写出b1，b2，b3的值；
（Ⅱ）证明：bn+1≥bn（n＝1，2，3，⋅⋅⋅）；
（Ⅲ）若{bn}是等比数列，证明：存在正整数n0，当n≥n0时，an，an+1，an+2，…是等比数列．
．（Ⅰ）若an＝2n（n＝1，2，3，…），写出b1，b2，b3的值；
（Ⅱ）证明：bn+1≥bn（n＝1，2，3，⋅⋅⋅）；
（Ⅲ）若{bn}是等比数列，证明：存在正整数n0，当n≥n0时，an，an+1，an+2，…是等比数列．
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解题方法
7 . 已知数列是等差数列，
，
，数列的前项和是
，且
.
（1）求数列的通项公式；
（2）求证数列是等比数列；
（3）记
，求证：
.
是等差数列，，，数列的前项和是，且.（1）求数列
的通项公式；（2）求证数列
是等比数列；（3）记
，求证：.
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名校
解题方法
8 . 已知数列，满足
且
.
(1)求证是单增数列；
(2)求数列
的前n项和.
，满足且.(1)求证
是单增数列；(2)求数列
的前n项和.
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9 . 数列{an}首项a1＝1，前n项和Sn与an之间满足an＝
（1）求证：数列{
}是等差数列
（2）求数列{an}的通项公式
（3）设存在正数k，使（1+S1）（1+S2）…（1+Sn）≥k
对于一切n∈N*都成立，求k的最大值．
（1）求证：数列{
}是等差数列（2）求数列{an}的通项公式
（3）设存在正数k，使（1+S1）（1+S2）…（1+Sn）≥k
对于一切n∈N*都成立，求k的最大值．
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10 . 已知数列
，如果存在常数p，使得对任意正整数n，总有
成立，那么我们称数列为“p-摆动数列”．
（Ⅰ）设
，
，，判断、是否为“p-摆动数列”，并说明理由；
（Ⅱ）已知“p-摆动数列”
满足
，
，求常数p的值；
（Ⅲ）设
，且数列
的前n项和为，求证：数列
是“p-摆动数列”，并求出常数p的取值范围．
，如果存在常数p，使得对任意正整数n，总有成立，那么我们称数列为“p-摆动数列”．（Ⅰ）设
，，，判断、是否为“p-摆动数列”，并说明理由；（Ⅱ）已知“p-摆动数列”
满足，，求常数p的值；（Ⅲ）设
，且数列的前n项和为，求证：数列是“p-摆动数列”，并求出常数p的取值范围．
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