1 . 已知数列的首项不为0，前项的和为，满足．
(1)证明：；
(2)若，证明：；
(3)是否存在常数，使得为等比数列?若存在，求出的所有可能值；若不存在，说明理由．

2 . 设，数列满足，数列的通项公式为.

(1)已知，求的值；
(2)若，以，求数列最大项及相应的值；
(3)设为数列其前项和，令，数列的前项和为.证明：.

3 . 数列满足，．
(1)求，；
(2)设，求证：数列是等比数列，并求其通项公式．

4 . 已知数列满足.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)若不等式对任意的恒成立，求的取值范围；
(3)令，是否存在，使得为数列中的项？若存在，求出所有满足条件的k的值；若不存在，请说明理由.

5 . 已知数列的前项和为，且满足，当时，.
(1)计算：，；
(2)证明为等差数列，并求数列的通项公式；
(3)设，求数列的前项和.

6 . 无穷数列，若存在正整数，使得该数列由个互不相同的实数组成，且对于任意的正整数，中至少有一个等于，则称数列具有性质，集合
(1)若，，判断数列是否具有性质；
(2)数列具有性质，且，，，，求、的值；
(3)数列具有性质，记集合，将集合中的所有元素按从小到大的顺序排列，得到数列，记，，证明：若数列具有性质，则数列是常数列．

7 . 已知数列中的相邻两项，是关于的方程的两个根，且.
（1）求，，，；
（2）求数列的前项和；
（3）记，，求证：.

8 . 某公司全年的纯利润为元,其中一部分作为奖金发给位职工,奖金分配方案如下首先将职工工作业绩(工作业绩均不相同)从大到小,由1到排序,第1位职工得奖金元,然后再将余额除以发给第2位职工,按此方法将奖金逐一发给每位职工,并将最后剩余部分作为公司发展基金.
(1)设为第位职工所得奖金额,试求并用和表示(不必证明)；
(2)证明并解释此不等式关于分配原则的实际意义；
(3)发展基金与和有关,记为对常数,当变化时,求.(可用公式)

9 . 已知正数数列前项和为，且任意，与2的等差中项等于与2的正的等比中项．
（1）求，，；
（2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明．

10 . 已知数列满足条件，且
（1）计算，请猜测数列的通项公式，并用数学归纳法证明；
（2）请分别构造一个二阶和三阶行列式，使它们的值均为，其中，要求所构造的三阶行列式主对角线下方的元素均为零，并用按某行或者某列展开的方法验证三阶行列式的值为