1 . 已知项数为的数列是各项均为非负实数的递增数列.若对任意的，（），与至少有一个是数列中的项，则称数列具有性质.
(1)判断数列，，，是否具有性质，并说明理由；
(2)设数列具有性质，求证：；
(3)若数列具有性质，且不是等差数列，求项数的所有可能取值.

2 . 已知{a_n}是由正整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为A_n，最小值记为B_n，令．
（Ⅰ）若a_n＝2n（n＝1，2，3，…），写出b₁，b₂，b₃的值；
（Ⅱ）证明：b_n+1≥b_n（n＝1，2，3，⋅⋅⋅）；
（Ⅲ）若{b_n}是等比数列，证明：存在正整数n₀，当n≥n₀时，a_n，a_n+1，a_n+2，…是等比数列．

3 . 若无穷数列满足：只要,必有,则称具有性质.
（1）若具有性质,且,求；
（2）若无穷数列是等差数列,无穷数列是等比数列,,,.判断是否具有性质,并说明理由；
（3）设是无穷数列,已知.求证：“对任意都具有性质”的充要条件为“是常数列”.

4 . 已知由n（n∈N^*）个正整数构成的集合A＝{a₁，a₂，…，a_n}（a₁＜a₂＜…＜a_n，n≥3），记S_A＝a₁+a₂+…+a_n，对于任意不大于S_A的正整数m，均存在集合A的一个子集，使得该子集的所有元素之和等于m.
（1）求a₁，a₂的值；
（2）求证：“a₁，a₂，…，a_n成等差数列”的充要条件是“”；
（3）若S_A＝2020，求n的最小值，并指出n取最小值时a_n的最大值.

5 . 若无穷数列满足：，且对任意正整数，都为中等于的项的个数，则称数列为“数列”.
（1）请列举出三个数列，每个数列只写出其前5项；
（2）若数列为一个数列，证明：，都有；
（3）若数列为一个数列，求集合中元素个数的最大值.

6 . 已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，，其中第一项是2⁰，接下来的两项是2⁰，2¹，再接下来的三项是2⁰，2¹，2²，依此类推. 设该数列的前项和为,
规定：若,使得（），则称为该数列的“佳幂数”.
(1)将该数列的“佳幂数”从小到大排列，直接写出前3个“佳幂数”；
(2)试判断50是否为“佳幂数”，并说明理由；
(3)（i）求满足>70的最小的“佳幂数”;
（ii）证明：该数列的“佳幂数”有无数个.

7 . 已知数列的前项和为，且满足，求数列的通项公式．勤于思考的小红设计了下面两种解题思路，请你选择其中一种并将其补充完整．
思路1：先设的值为1，根据已知条件，计算出_________，__________，_________．
猜想：_______.
然后用数学归纳法证明．证明过程如下：
①当时，________________，猜想成立
②假设（）时，猜想成立，即_______．
那么，当时，由已知，得_________．
又，两式相减并化简，得_____________（用含的代数式表示）．
所以，当时，猜想也成立．
根据①和②，可知猜想对任何都成立．
思路2：先设的值为1，根据已知条件，计算出_____________．
由已知，写出与的关系式：_____________________，
两式相减，得与的递推关系式：____________________．
整理：____________．
发现：数列是首项为________，公比为_______的等比数列．
得出：数列的通项公式____，进而得到____________．

8 . 数列，（）由下列条件确定：①；②当时，与满足：当时，；当时，，.
（Ⅰ）若，，写出，并求数列的通项公式；
（Ⅱ）在数列中，若 (,且)，试用表示；
（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，设数列满足，， (其中m为给定的不小于2的整数)，求证：当时，恒有.