1 . 已知数列满足，且对任意正整数m，n都有.
(1)求数列的通项公式;
(2)求数列的前n项和，若存在正整数k，使得，求k的值;
(3)设，是数列的前n项和，求证:.

2 . 已知数列满足，
(1)计算的值；
(2)令，求证：数列是等比数列；
(3)设、分别为数列、的前项和，是否存在实数，使得数列为等差数列?若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由．

3 . 已知数列满足，．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．

4 . 已知数列满足，，且．
(1)令，求；
(2)记的前n和为，求证：．

5 . 已知数列满足，且．
(1)求的通项公式；
(2)若数列的前项和为，且，求数列的前项和．

6 . 如图的形状出现在南宋数学家杨浑所著的《详解九章算法•商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球.......设各层球数构成一个数列.
   
(1)写出与的递推关系，并求数列的通项公式；
(2)记数列的前项和为，且，在与之间插入个数，若这个数恰能组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和.

7 . 已知正项数列满足，.
(1)求的通项公式；
(2)记，求数列的前2023项的和.

8 . 记为数列的前项和，已知，且满足.
(1)证明：数列为等差数列；
(2)设，求数列的前项和.

9 . 已知数列满足，.数列满足， ．
(1)求的通项公式；
(2)证明：当时， ．

10 . 已知数列的前项和为，满足.
(1)求的值，并求数列的通项公式.
(2)令，求数列的前项和.