1 . 已知有限数列，从数列中选取第项、第项、、第项（），顺次排列构成数列，其中，，则称新数列为的长度为m的子列．规定：数列的任意一项都是的长度为1的子列，若数列的每一子列的所有项的和都不相同，则称数列为完全数列．设数列满足，．
(1)判断下面数列的两个子列是否为完全数列，并说明由；
数列①：3，5，7，9，11；数列②：2，4，8，16．
(2)数列的子列长度为m，且为完全数列，证明：m的最大值为6；
(3)数列的子列长度，且为完全数列，求的最大值．

2 . 等差数列满足，则（       ）

A．	B．
C．n的最大值为13	D．n的最大值为26

4 . 设是集合且中所有的数从小到大排列成的数列，即，，，，，，…．
(1)写出集合中，的所有的数；
(2)求；
(3)的前项和为，求．

5 . 已知集合的元素个数为且元素均为正整数，若能够将集合分成元素个数相同且两两没有公共元素的三个集合、、，即，，，，其中，，，且满足，，、、、，则称集合为“完美集合”.
（1）若集合，，判断集合和集合是否为“完美集合”？并说明理由；
（2）已知集合为“完美集合”，求正整数的值；
（3）设集合，证明：集合为“完美集合”的一个必要条件是或.

6 . 已知数列是无穷数列，其前n项和为若对任意的正整数，存在正整数， ()使得，则称数列是“S数列".
（1）若判断数列是否是“S数列”，并说明理由;
（2）设无穷数列的前n项和且，证明数列不是“S数列";
（3）证明:对任意的无穷等差数列，存在两个“S数列"和，使得成立.

7 . 已知由n（n∈N^*）个正整数构成的集合A＝{a₁，a₂，…，a_n}（a₁＜a₂＜…＜a_n，n≥3），记S_A＝a₁+a₂+…+a_n，对于任意不大于S_A的正整数m，均存在集合A的一个子集，使得该子集的所有元素之和等于m.
（1）求a₁，a₂的值；
（2）求证：“a₁，a₂，…，a_n成等差数列”的充要条件是“”；
（3）若S_A＝2020，求n的最小值，并指出n取最小值时a_n的最大值.

8 . 若无穷数列满足:对任意两个正整数,与至少有一个成立,则称这个数列为“和谐数列”.
(Ⅰ)求证:若数列为等差数列,则为“和谐数列”;
(Ⅱ)求证:若数列为“和谐数列”,则数列从第项起为等差数列;
(Ⅲ)若是各项均为整数的“和谐数列”,满足,且存在使得，,求p的所有可能值.

9 . 已知a，b是不相等的两个正数，在a，b之间插入两组实数：x₁，x₂，…，x_n和y₁，y₂，…，y_n，（n∈N^*，且n≥2），使得a，x₁，x₂，…，x_n，b成等差数列，a，y₁，y₂，…，y_n，b成等比数列，给出下列四个式子：①；②；③；④.其中一定成立的是（　　）

A．①②③

B．①②④

C．①③④

D．②③④

10 . 设数列的前n项和为，，且，若，则n的最大值为______．