1 . 设数列的首项为常数，且．
(1)证明：是等比数列；
(2)若中是否存在连续三项成等差数列？若存在，写出这三项：若不存在，请说明理由．
(3)若是递增数列，求的取值范围．

2 . 已知数列满足，，且，.
(1)证明：数列为等差数列；
(2)记数列的前n项和为，求数列的通项公式，并求出使得不等式成立的n的最小值.

3 . 已知数列中，，是数列的前项和，且对任意，有（为常数）．
(1)当时，求、的值；
(2)试判断数列是否为等比数列？请说明理由．

4 . 已知数列中，，且.
(1)求，并证明是等比数列；
(2)求的通项公式.

5 . 在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”．如数列1，2第1次“和扩充”后得到数列1，3，2，第2次“和扩充”后得到数列1，4，3，5，2.设数列a，b，c经过第n次“和扩充”后所得数列的项数记为，所有项的和记为．
(1)若，求，；
(2)设满足的n的最小值为，求及 （其中[x]是指不超过x的最大整数，如，）；
(3)是否存在实数a，b，c，使得数列{}为等比数列？若存在，求b，c满足的条件；若不存在，请说明理由．

6 . 已知数列满足，．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)设，求数列的前n项和．

7 . 数列的前n项和为，，．
(1)求；
(2)求数列的通项公式；
(3)求的和．

8 . 第22届世界杯于2022年11月21日到12月18日在卡塔尔举办．在决赛中，阿根廷队通过点球战胜法国队获得冠军．

(1)扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左､中､右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左､中､右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有的可能性扑不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑到点球的个数X的分布列和期望；
(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲､乙､丙三名前锋队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外2人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第n次传球之前球在甲脚下的概率为p_n，易知．

①试证明：为等比数列；

②设第n次传球之前球在乙脚下的概率为q_n，比较p₁₀与q₁₀的大小．

9 . 已知数列满足
(1)求证：数列是等比数列；
(2)设，求的前项和

10 . 已知数列满足，.
(1)求证：数列为等比数列；
(2)令，求数列的前项和.