1 . 已知为等比数列的前n项和，若，，成等差数列，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，且数列的前n项和为，证明：.

2 . 已知数列，满足，，且，
(1)求，的值，并证明数列是等比数列；
(2)求数列，的通项公式．

3 . 已知数列前n项和满足，其中，且，函数部分图像如图所示．

（1）证明为等差数列，求出其通项公式及解析式．
（2）记，求的前2021项和．

4 . 设为数列的前项和，已知，.
（1）证明：为等比数列；
（2）求的通项公式，并判断是否成等差数列？

5 . 已知数列中，，，且数列中任意相邻两项具有2倍关系.记所有可能取值的集合为，其元素和为．
（1）证明为单元素集，并用列举法写出，；
（2）由（1）的结果，设，归纳出，（只要求写出结果），并求，指出与的倍数关系．

6 . 设为等差数列的公差，数列的前项和，满足（），且，若实数（，），则称具有性质.
（1）请判断、是否具有性质，并说明理由；
（2）设为数列的前项和，若是单调递增数列，求证：对任意的（，），实数都不具有性质；
（3）设是数列的前项和，若对任意的，都具有性质，求所有满足条件的的值.

7 . 已知数列满足，，记．
（1）求和；
（2）证明：．

8 . 已知数列为等比数列，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设是数列的前项和，求证：.

9 . 已知数列是等比数列，其中，且、、成等差数列.
（1）求数列的通项公式.
（2）数列的前项和记为，求证：.

10 . 已知正项数列的前n项和为，若数列是公差为的等差数列，且是的等差中项.
（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）若是数列的前n项和，若恒成立，求实数的取值范围.