1 . 已知各项均不为零的数列的前项和为，，，，且，则的最大值为________．

2 . 已知数列的前项和为，则______．

3 . 已知数列的通项公式，则数列的前项和_________.

4 . 已知数列满足，在和之间插入个1，构成数列，则数列的前20项的和为__________.

5 . 已知数列：1，，，3，3，3，，，，，，，即当（）时，，记（）．对于，定义集合是的整数倍，，且，则集合中元素的个数为______

6 . 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）．现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（m为正整数），当时，______．

7 . 数列的前n项和为__________.

8 . 无穷数列满足：只要，必有，则称为“和谐递进数列”．若为“和谐递进数列”，且，，，，则___，___.

9 . 已知数列的通项公式为，的通项公式为．记数列的前项和为，则____；的最小值为____．

10 . 已知数列的前n项和为，，当时，，则______.