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1 . 函数的凹凸性的定义是由丹麦著名的数学家兼工程师Johan Jensen在1905年提出来的．其中对于凸函数的定义如下：设连续函数
的定义域为
（或开区间
或
，或
都可以），若对于区间上任意两个数
，均有
成立，则称为区间上的凸函数．容易证明譬如
都是凸函数．Johan Jensen在1906年将上述不等式推广到了
个变量的情形，即著名的Jensen不等式：若函数为其定义域上的凸函数，则对其定义域内任意个数
，均有
成立，当且仅当
时等号成立．
(1)若函数
为
上的凸函数，求
的取值范围：
(2)在
中，求
的最小值；
(3)若连续函数
的定义域和值域都是
，且对于任意
均满足下述两个不等式：
，证明：函数
为上的凸函数．（注：
）
的定义域为（或开区间或，或都可以），若对于区间上任意两个数，均有成立，则称为区间上的凸函数．容易证明譬如都是凸函数．Johan Jensen在1906年将上述不等式推广到了个变量的情形，即著名的Jensen不等式：若函数为其定义域上的凸函数，则对其定义域内任意个数，均有成立，当且仅当时等号成立．(1)若函数
为上的凸函数，求的取值范围：(2)在
中，求的最小值；(3)若连续函数
的定义域和值域都是，且对于任意均满足下述两个不等式：，证明：函数为上的凸函数．（注：）
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2 . 足球教练带领运动员对“带球射门”进行专项训练.如图，教练员指导运动员沿着与边路
平行的路线带球并起脚射门，教练员强调要在路线上的相应位置
处起脚射门进球的可能性最佳（即点对球门
所张的角
最大），假如每条虚线都表示在规定的区域
内为运动员预设的带球路线，而每条路线上都有一个最佳起脚射门点，为了研究方便，如图建立坐标系，设
、
，在
轴的上方.
，求此时
的外接圆的圆心坐标
(2)过点作轴的垂线，垂足为
，若
，求当最大时，点的坐标
平行的路线带球并起脚射门，教练员强调要在路线上的相应位置处起脚射门进球的可能性最佳（即点对球门所张的角最大），假如每条虚线都表示在规定的区域内为运动员预设的带球路线，而每条路线上都有一个最佳起脚射门点，为了研究方便，如图建立坐标系，设、，在轴的上方.
，求此时的外接圆的圆心坐标(2)过点
作轴的垂线，垂足为，若，求当最大时，点的坐标
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解题方法
3 . 在
中，
的平分线交AC于点D，
，则周长的最小值为_________ ．
中，的平分线交AC于点D，，则周长的最小值为
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4 . 存在实数使得函数
有唯一零点，则实数
可以取值为（ ）
使得函数有唯一零点，则实数可以取值为（ ）A． | B． | C． | D．1 |
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解题方法
5 . 设
，则（ ）
，则（ ）A． | B． |
C． | D． |
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解题方法
6 . 设
，
，下列命题正确的是（ ）
，，下列命题正确的是（ ）A．若 ，则 | B．若 ，则 |
C．若 ，则 | D． |
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7 . 若
，则
的最大值是_____________ .（注：
表示
中的较小值）
，则的最大值是表示中的较小值）
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解题方法
8 . 下列结论正确的有（ ）
A．函数 的最小值为2 |
B．函数 且 的图像恒过定点 |
C． 的定义域为 ，则 |
D．的值域为，则 |
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2024-01-22更新
|
225次组卷
|
3卷引用：广东省揭阳市2023-2024学年高一上学期期末教学质量监测数学试卷
解题方法
9 . 下列说法正确的是（ ）
A．函数 的最小值为 |
B．关于的不等式 的解集是 ，则 |
C．若正实数a，b满足，则 的最小值为 |
D．若函数 在区间 单调递减，则实数的取值范围是 |
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解题方法
10 . 已知
，
，
，则（ ）
，，，则（ ）A． | B． | C． | D． |
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