1 . 杭州，作为2023年亚洲运动会的举办城市，以其先进的科技和创新能力再次吸引了全球的目光.其中首次采用“机器狗”在田径赛场上运送铁饼等，迅速成为了全场的焦点.已知购买台“机器狗”的总成本为.
(1)若使每台“机器狗”的平均成本最低，问应买多少台?
(2)现安排标明“汪1”、“汪2”、“汪3”的3台“机器狗”在同一场次运送铁饼，且运送的距离都是120米. 3台“机器狗”所用时间（单位:秒）分别为，，. “汪1”有一半的时间以速度（单位:米/秒） 奔跑，另一半的时间以速度奔跑；“汪2”全程以速度奔跑；“汪3”有一半的路程以速度奔跑，另一半的路程以速度奔跑，其中，，且 则哪台机器狗用的时间最少? 请说明理由.

2 . （1）已知且，求的最小值．
（2）已知，，且．证明：．

3 . （1）已知求函数最小值，并求出最小值时的值；
（2）问题：正数满足，求的最小值.其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号.学习上述解法并解决下列问题：若实数满足，试比较和的大小，并指明等号成立的条件.

4 . 已知，，都是正数，且.
(1)若，求函数的最小值；
(2)求证：.

5 . 已知.
(1)求证：；
(2)求的最小值.

6 . （1）已知，求证：；
（2）设，，均为正数，且，证明：．

7 . 已知函数.
(1)求不等式的解集；
(2)若存在实数，使得成立的的最大值为，且实数，满足，证明：.

8 . 已知不等式的解集为.
(1)求、的值，
(2)若，，，求证：.

9 . 已知，，试比较与的大小；

10 . 已知函数，，.若不等式的解集为.
(1)求，的值及；
(2)判断函数在区间上的单调性，并利用定义证明你的结论；
(3)已知，，且，若，试证：.