1 . 已知a、b、c、d为正实数，请利用平均值不等式证明（1），并指出等号成立的条件，然后利用（1）证明（2），并解决（3）中的实际问题．
(1)求证：“．
(2)利用（1）中的结论证明：．
(3)如图，将边长为1的正方形纸片的四个角都沿实线剪去一个边长为x的小正方形，再将四个部分都折起，做成一个无盖长方体盒子．求该长方体盒子的容积V的最大值，以及取到最大值时实数x的值．

2 . 我们学习了二元基本不等式：设,,,当且仅当时，等号成立利用基本不等式可以证明不等式，也可以利用“和定积最大，积定和最小”求最值.
（1）对于三元基本不等式请猜想：设       当且仅当时，等号成立（把横线补全）.
(2)利用（1）猜想的三元基本不等式证明：
设求证：
(3)利用（1）猜想的三元基本不等式求最值：
设求的最大值.

3 . 已知，，且.
(1)求的最小值；
(2)求证：.

4 . 在中，、、的对边分别为、、，其中边最长，并且．
(1)求证：是直角三角形；
(2)当时，求面积的最大值．

5 . 已知直线：.
(1)证明无论为何值，直线与直线总相交；
(2)若为坐标原点，直线与，轴的正半轴分别交于两点，求面积的最小值.

6 . 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”．类比赵爽弦图，用个全等的小三角形拼成了如图所示的等边，若的边长为，则的最小值为（       ）

A．

B．

C．

D．

7 . 已知椭圆的长轴长为，，为的左、右焦点，点在上运动，且的最小值为.连接，并延长分别交椭圆于，两点.

(1)求的方程；
(2)证明：为定值.

8 . 如图，设直线过焦点且交椭圆于两点，直线倾斜角为，证明：当且仅当时，.