1 . 如图，在几何体中，四边形为菱形，对角线与的交点为O，四边形为梯形，.

(1)若，求证：平面；
(2)若，求证：平面平面.

2 . 如图，在三棱锥中，，，.

(1)求证：；
(2)求二面角平面角的余弦值.

3 . 如图，在四棱锥中，平面平面，，，是等腰直角三角形，是顶角.
   
(1)求证：平面平面；
(2)若，求二面角的余弦值.

4 . 如图，在四棱锥中，平面，底面是矩形，是上一点，平面.
   
(1)求证：平面；
(2)从下面三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并作答：①异面直线与所成角的正切值为；②直线与平面所成角的正弦值为；③点到平面的距离为；
若___________，求平面与平面夹角的余弦值.

5 . 如图，在直三棱柱中，为的中点，.
      
(1)证明：平面；
(2)求二面角的余弦值.

6 . 如图，是圆柱的一条母线，过底面圆的圆心是圆上异于点的一点. 已知.
   
(1)求该圆柱的体积；
(2)求证：平面；
(3)将四面体绕母线所在的直线旋转一周，求的三边在旋转过程中所围成的几何体的体积.

7 . 如图，在正方体中，分别为的中点.

   

(1)求证：平面；
(2)若正方体的棱长为4，求二面角的正弦值.

8 . 在如图所示的圆锥中，为顶点，在底面圆周上取三点，使得，在母线上取一点，过作一个平行于底面的平面，分别交于点，且.
       
(1)求证：平面平面；
(2)已知三棱锥的体积为2，求平面与平面所夹锐角的余弦值.

9 . 已知长方体，如图所示，其中、分别是线段、的中点.
   
(1)证明：平面；
(2)若，直线与所成角的正切值为，求四面体的体积.

10 . 如图所示，在四棱锥中，该四棱锥的底面是边长为6的菱形，，，，为线段上靠近点的三等分点.

   

(1)证明：平面平面；
(2)在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，求的值及直线与平面所成角的大小；若不存在，请说明理由.