1 . 如图，在三棱台中，上、下底面是边长分别为2和4的正三角形，平面，设平面平面，点分别在直线和直线上，且满足，．

(1)证明：平面；
(2)若直线和平面所成角的正弦值为，求该三棱台的高．

2 . 如图1，在四边形ABCD中，为DC的中点，.将沿BD折起，使点到点，形成如图2所示的三棱锥.在三棱锥中，，记平面PEO、平面PDC、平面PBC分别为.

   

(1)证明:；
(2)若，求与的夹角的大小.

3 . 小红同学利用计算机动画演示圆柱的形成过程，将正方形绕直线逆时针旋转弧度时，到达的位置，得到如图所示的几何体.

(1)求证：平面平面；
(2)若是的中点，求二面角的正弦值.

4 . 如图，三棱柱中，是边长为2的等边三角形，.

   

(1)证明：；
(2)若三棱柱的体积为3，且二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值.

5 . 如图，在直三棱柱中，分别为的中点，侧面为正方形，求证：

(1)平面；
(2).

6 . 如下如图，水平桌面上放置一个透明塑料制成的长方体水槽，水面高度恰为长方体高的一半，在该长方体侧面上有一个小孔点到的距离为3.将该长方体水槽绕倾斜（始终在桌面上，如下如图所示），此时水恰好流出时，液面与棱分别相交于点.

(1)证明：四边形是矩形；
(2)当水恰好流出时，求二面角的大小.

7 . 在如图所示的直四棱柱中，连接，，，，，，，.

(1)求证：，，，四点共面；
(2)若，求平面与平面的夹角的余弦值.

8 . 如图，在直三棱柱中，D，E为，AB中点，连接，．

(1)证明：DE∥平面；
(2)若，，，求二面角的正弦值．

9 . 如图是一个棱长为2的正方体的展开图，其中分别是棱的中点．请以三点所在面为底面将展开图还原为正方体．

(1)求证：点在平面内；
(2)用平面截正方体，将正方体分成两个几何体，两个几何体的体积分别为，试判断体积较小的几何体的形状（不需要证明），并求的值．

10 . 如图所示，在三棱锥中，是边长为的等边三角形，分别为的中点．

   

(1)求证：；
(2)若二面角的余弦值为，求：
①的长；
②直线与平面所成角的正弦值．