1 . 如图所示，四边形
为梯形，
，
，
，以
为一条边作矩形
，且
，平面
平面．
；
(2)甲同学研究发现并证明了这样一个结论：如果两个平面所成的二面角为
，其中一个平面内的图形
在另一个平面上的正投影为
，它们的面积分别记为
和
，则
．乙同学利用甲的这个结论，发现在线段
上存在点
，使得
．请你对乙同学发现的结论进行证明．
为梯形，，，，以为一条边作矩形，且，平面平面．
；(2)甲同学研究发现并证明了这样一个结论：如果两个平面所成的二面角为
，其中一个平面内的图形在另一个平面上的正投影为，它们的面积分别记为和，则．乙同学利用甲的这个结论，发现在线段上存在点，使得．请你对乙同学发现的结论进行证明．
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名校
2 . 如图，在四棱柱
中，底面是正方形，平面
平面
，
．
(1)求证：
；
(2)若
．
（ⅰ）求直线
与直线
所成角的余弦值；
（ⅱ）求点
到平面
的距离；
（ⅲ）设点
为线段
上任意一点（不包含端点），证明：直线
与平面相交.
中，底面是正方形，平面平面，． (1)求证：
；(2)若
．（ⅰ）求直线
与直线所成角的余弦值；（ⅱ）求点
到平面的距离；（ⅲ）设点
为线段上任意一点（不包含端点），证明：直线与平面相交.
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2023-05-23更新
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800次组卷
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2卷引用：北京市第一零一中学2023届高三三模数学统考四试题
3 . 如图，在四棱锥
中，侧棱
平面ABCD，底面四边形ABCD是矩形，
，点M，N分别为棱PB，PD的中点，点E在棱AD上，
.
(1)求证：直线
平面BNE；
(2)从下面①②两个条件中选取一个作为已知，证明另外一个成立.
①平面PAB与平面PCD的交线l与直线BE所成角的余弦值为
；
②二面角
的余弦值为
.
注：若选择不同的组合分别作答，则按第一个解答计分.
中，侧棱平面ABCD，底面四边形ABCD是矩形，，点M，N分别为棱PB，PD的中点，点E在棱AD上，. (1)求证：直线
平面BNE；(2)从下面①②两个条件中选取一个作为已知，证明另外一个成立.
①平面PAB与平面PCD的交线l与直线BE所成角的余弦值为
；②二面角
的余弦值为.注：若选择不同的组合分别作答，则按第一个解答计分.
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名校
4 . 已知，图中直棱柱的底面是菱形，其中
.又点
分别在棱
上运动，且满足：
，
.
(1)求证：四点共面，并证明
平面
；
(2)是否存在点
使得二面角
的余弦值为
？如果存在，求出
的长；如果不存在，请说明理由.
的底面是菱形，其中.又点分别在棱上运动，且满足：，.(1)求证：
四点共面，并证明平面；(2)是否存在点
使得二面角的余弦值为？如果存在，求出的长；如果不存在，请说明理由.
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5 . 在底面ABCD为梯形的多面体中.
，BC⊥CD，
，∠CBD＝45°，BC＝AE＝DE，且四边形BDEN为矩形．
(1)求证：BD⊥AE；
(2)线段EN上是否存在点Q，使得直线BE与平面QAD所成的角为60°？若不存在，请说明理由．若存在，确定点Q的位置并加以证明．
，BC⊥CD，，∠CBD＝45°，BC＝AE＝DE，且四边形BDEN为矩形． (1)求证：BD⊥AE；
(2)线段EN上是否存在点Q，使得直线BE与平面QAD所成的角为60°？若不存在，请说明理由．若存在，确定点Q的位置并加以证明．
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2023-06-22更新
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1179次组卷
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5卷引用：河南省郑州市等3地2022-2023学年高三下学期6月冲刺卷（五）全国卷理科数学试题
河南省郑州市等3地2022-2023学年高三下学期6月冲刺卷（五）全国卷理科数学试题第一章 空间向量与立体几何 讲核心03（已下线）第11讲 用空间向量研究距离、夹角问题11种常见考法归类-【暑假自学课】2023年新高二数学暑假精品课（人教A版2019选择性必修第一册）（已下线）第06讲 1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题（2）（已下线）专题1-3 空间向量综合：斜棱柱、不规则几何体建系计算（讲+练）-【巅峰课堂】2023-2024学年高二数学热点题型归纳与培优练（人教A版2019选择性必修第一册）
名校
6 . 如图，
是圆
的直径，点
是圆上异于
的点，直线
平面
分别是
的中点．
(1)记平面
与平面
的交线为
，证明：
平面
；
(2)设（1）中的直线与圆的另一个交点为
，且点
满足
．记直线
与平面所成的角为
，异面直线与所成的角为
，二面角
的大小为
，求证：
．
是圆的直径，点是圆上异于的点，直线平面分别是的中点． (1)记平面
与平面的交线为，证明：平面；(2)设（1）中的直线
与圆的另一个交点为，且点满足．记直线与平面所成的角为，异面直线与所成的角为，二面角的大小为，求证：．
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解题方法
7 . 已知直三棱柱
中，E，F分别为棱
和
的中点，
，
，
.
(1)求证：平面
平面
；
(2)若直线
与平面EFC所成角的正弦值为
且
，证明：平面
平面EFC.
中，E，F分别为棱和的中点，，，.(1)求证：平面
平面；(2)若直线
与平面EFC所成角的正弦值为且，证明：平面平面EFC.
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解题方法
8 . 如图，在四棱锥
中，侧棱
平面
，底面四边形是矩形，
，点、分别为棱
、的中点，点
在棱
上．
(1)若
，求证：直线
平面
；
(2)若
，从下面①②两个条件中选取一个作为已知，证明另外一个成立．
①平面
与平面的交线为直线，与直线
成角的余弦值为
；
②二面角
的余弦值为
．
注：若选择不同的组合分别作答，则按第一个解答计分．
中，侧棱平面，底面四边形是矩形，，点、分别为棱、的中点，点在棱上．(1)若
，求证：直线平面；(2)若
，从下面①②两个条件中选取一个作为已知，证明另外一个成立．①平面
与平面的交线为直线，与直线成角的余弦值为；②二面角
的余弦值为．注：若选择不同的组合分别作答，则按第一个解答计分．
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名校
解题方法
9 . 如图，在四棱锥中，
，且
.
(1)若
平面
，证明：点为棱
的中点；
(2)已知二面角
的大小为
，当平面
和平面
的夹角为时，求证：
.
中，，且.(1)若
平面，证明：点为棱的中点；(2)已知二面角
的大小为，当平面和平面的夹角为时，求证：.
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2023-04-10更新
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469次组卷
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3卷引用：江西省吉安市2023届高三模拟测试数学（理）（一模）试题
名校
10 . 如图四棱锥中，
是以
为斜边的等腰直角三角形，
，
，
，
，为
的中点.
(1)求证：直线
平面
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值.
(3)设是的中点，判断点是否在平面内，并证明结论.
中，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，，为的中点.(1)求证：直线
平面(2)求直线
与平面所成角的正弦值.(3)设
是的中点，判断点是否在平面内，并证明结论.
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