1 . 如图，是半球的直径，，是底面半圆弧上的两个三等分点，是半球面上一点，且.

   

(1)求四边形的面积；
(2)证明：平面；
(3)若点在底面圆内的射影恰在上，求直线与平面所成角的正弦值.

2 . 如图，在正方体中：

（注：如需添加辅助线，请将第（1）（2）问的辅助线分别作在答题卡中的图1与图2上）
(1)证明：平面；
(2)若，点是棱上一点（不包含端点），平面过点，且，求平面截正方体所得截面的面积的最大值．

3 . 如图，长方体中，分别是，的中点，分别是，的中点，，.

（1）求证：平面；
（2）求二面角的正弦值；
（3）求三棱锥的体积.

4 . 1611年，约翰内斯·开普勒提出了“没有任何装球方式的密度比面心立方与六方最密堆积要高”的猜想.简单地说，开普勒猜想就是对空间中如何堆积最密圆球的解答.2017年，由匹兹堡大学数学系教授托马斯·黑尔斯（Thomas Hales）带领的团队发表了关于开普勒猜想证明的论文，给这个超过三百年的历史难题提交了一份正式的答案.现有大小形状都相同的若干排球，按照下面图片中的方式摆放（底层形状为等边三角形，每边4个球，共4层），这些排球共__________个，最上面球的球顶距离地面的高度约为__________（排球的直径约为）