1 . 在棱长为 1 的正方体中，已知分别为线段的中点，点满足，则（       ）

A．当时，三棱锥的体积为定值

B．当，四棱锥的外接球的表面积是

C．周长的最小值为

D．若，则点的轨迹长为

2 . 如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，，D，E分别是线段的中点，在平面内的射影为D.

   

(1)求证：平面；
(2)若点F为棱的中点，求三棱锥的体积；
(3)在线段上是否存在点G，使二面角的大小为，若存在，请求出的长度，若不存在，请说明理由.

4 . 已知正方体的棱长为2，点P是的中点，点M是正方体内（含表面）的动点，且满足，下列选项正确的是（       ）

A．动点M在侧面内轨迹的长度是

B．三角形在正方体内运动形成几何体的体积是2

C．直线与所成的角为，则的最小值是

D．存在某个位置M，使得直线与平面所成的角为

5 . 已知，，，四点都在表面积为的球的表面上，若是球的直径，且，，则三棱锥体积的最大值为___________．

6 . 早在公元5世纪，我国数学家祖暅在求球体积时，就创造性地提出了一个原理“幂势既同，则积不容异”，意思是夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.

   

(1)如图一所示，在一个半径为的半球体中，挖去一个半径为的球体，求剩余部分的体积.
(2)如图二，由抛物线跟线段围成一个几何形，将该几何形绕轴旋转得到一个抛物线旋转体，请运用祖暅原理求该旋转体的体积.
(3)将两个底面半径为1，高为3圆柱体按如图三所示正交拼接在一起，构成一个十字型几何体.求这个十字型的体积，等价于求两个圆柱公共部分几何体的体积，请运用祖暅原理求出该公共部分几何体的体积.

7 . 如图，已知三棱台的体积为，平面平面，是以为直角顶点的等腰直角三角形，且，

   

(1)证明：平面；
(2)求点到面的距离；
(3)在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在，求出的长，若不存在，请说明理由.

8 . 直三棱柱的六个顶点均位于一个半径为2的球的球面上，，，则该直三棱柱的体积可能是（       ）

A．

B．

C．

D．

9 . 如图，在直三棱柱中，，，，侧面的对角线交点，点是侧棱上的一个动点，下列结论正确的是（    ）

A．直三棱柱的侧面积是

B．直三棱柱的外接球表面积是

C．三棱锥的体积与点的位置无关

D．的最小值为

10 . 在四面体中，，且与所成的角为.若四面体的体积为，则它的外接球半径的最小值为__________.