1 . 我国古代数学名著《九章算术》,将底面为矩形且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”.如图所示,在长方体
中,已知
,
.
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2024/3/31/064926f8-580d-47cb-ba38-0fa73946e3aa.png?resizew=134)
(1)求证:四棱锥
是一个“阳马”,并求该“阳马”的体积;
(2)求该“阳马”
的外接球的表面积.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/6e09725691ee7851f54c0dee86b2bf55.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f121eabff3c62c1a196d9ca5f6f83f0b.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e8d927585a17c2e98ef7d5a9589a26ac.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2024/3/31/064926f8-580d-47cb-ba38-0fa73946e3aa.png?resizew=134)
(1)求证:四棱锥
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/fec35c2182c5e0c80b766adceb058e5f.png)
(2)求该“阳马”
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/fec35c2182c5e0c80b766adceb058e5f.png)
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2 . 某烟花厂准备生产一款环保、安全的迷你小烟花,初步设计了一个平面图,如图所示,该平面图由
,直角梯形
和以
为圆心的四分之一圆弧
构成,其中
,
,
,且
,
,
,将平面图形
以
所在直线为轴,旋转一周形成的几何体即为烟花.
(2)工厂准备将矩形
(该矩形内接于图形
,
在弧
上,
在线段
上,
在
上)旋转所形成的几何体用来安放燃料,设
(
),
①请用
表示燃料的体积
;
②若烟花燃烧时间
和燃料体积
满足关系
,请计算这个烟花燃烧的最长时间.
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(2)工厂准备将矩形
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①请用
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/be54e84508decfcce6d2fcbe6c8c1a92.png)
②若烟花燃烧时间
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2023-07-12更新
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739次组卷
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7卷引用:第六章 突破立体几何创新问题 专题二 融合科技、社会热点 微点3 融合科技、社会热点等现代文化的立体几何和问题综合训练【培优版】
(已下线)第六章 突破立体几何创新问题 专题二 融合科技、社会热点 微点3 融合科技、社会热点等现代文化的立体几何和问题综合训练【培优版】福建省泉州第五中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题山东省淄博第六中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题(已下线)专题03 基本立体图形、直观图、表面积与体积-期末真题分类汇编(新高考专用)(已下线)专题04 立体几何初步-期期末真题分类汇编(人教A版2019必修第二册)(已下线)重组2 高一期末真题重组卷(山东卷)B提升卷山东省日照市2022-2023学年高一下学期期末校际联合考试数学试题
3 . 《九章算术》是中国古代的一部数学专著,是《算经十书》中最重要的一部,是当时世界上最简练有效的应用数学,它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.《九章算术》中将由四个直角三角形组成的四面体称为“鳖臑”,已知四面体
是“鳖臑”,
,
,
,
分别为
,
的中点,
在线段
上,且
.
平面
;
(2)求四面体
内切球的表面积.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/63397cda22cb1fad59cf966dfb588643.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1bae7599ad243c12d94325ad917f0a44.png)
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(2)求四面体
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/63397cda22cb1fad59cf966dfb588643.png)
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2023-06-27更新
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689次组卷
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6卷引用:压轴题立体几何新定义题(九省联考第19题模式)讲
(已下线)压轴题立体几何新定义题(九省联考第19题模式)讲(已下线)第二章 立体几何中的计算 专题三 空间面积的计算 微点1 空间面积的计算【基础版】(已下线)高一下学期期中复习解答题压轴题十八大题型专练(2)-举一反三系列(人教A版2019必修第二册)【江苏专用】专题11立体几何与空间向量(第二部分)-高一下学期名校期末好题汇编江苏省盐城市2022-2023学年高一下学期期末数学试题广东省珠海东方外语实验学校2022-2023学年高一下学期期末数学试题
名校
4 . 《九章算术.商功》中,将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑;在鳖臑
中,
平面
,
,且
,求
(1)四面体
的表面积;
(2)四面体
内切球半径;
(3)四面体
外接球的表面积.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/411b38a18046fea8e9fab1f9f9b80a5f.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/21f9157fce2a8339d281178c7c0bccbe.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ca67a5b8f69507c8b80379e86f90a8ce.png)
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ce519312a849963b376c202c3f9d7cf7.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2023/6/22/e03ed587-e637-4e4e-898c-8d0477c681ae.png?resizew=127)
(1)四面体
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/411b38a18046fea8e9fab1f9f9b80a5f.png)
(2)四面体
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/411b38a18046fea8e9fab1f9f9b80a5f.png)
(3)四面体
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/411b38a18046fea8e9fab1f9f9b80a5f.png)
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2023-06-21更新
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806次组卷
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4卷引用:专题8.3 简单几何体的表面积与体积-举一反三系列(人教A版2019必修第二册)
(已下线)专题8.3 简单几何体的表面积与体积-举一反三系列(人教A版2019必修第二册)(已下线)第六章 突破立体几何创新问题 专题一 交汇中国古代文化 微点4 与中国古代文化遗产有关的立体几何问题综合训练【基础版】辽宁省六校2022-2023学年高一下学期6月联考数学试题辽宁省六校协作体2022-2023学年高一下学期第三次考试(6月)数学试题
5 . 数学史上著名的波尔约-格维也纳定理:任意两个面积相等的多边形,它们可以通过相互拼接得到.它由法卡斯·波尔约(FarksBolyai)和保罗·格维也纳(PaulGerwien)两位数学家分别在1833年和1835年给出证明.现在我们来尝试用平面图形拼接空间图形,使它们的全面积都与原平面图形的面积相等:(1)给出两块相同的正三角形纸片(如图1、图2),其中图1,沿正三角形三边中点连线折起,可拼得一个正三棱锥;图2,正三角形三个角上剪出三个相同的四边形(阴影部分),其较长的一组邻边边长为三角形边长的
,有一组对角为直角,余下部分按虚线折起,可成一个缺上底的正三棱柱,而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱锥的上底.
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2023/5/16/4e5e0ba9-486a-44e2-8f5e-79e24ae11e6c.png?resizew=514)
(1)试比较图1与图2剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小;
(2)如果给出的是一块任意三角形的纸片(如图3),要求剪拼成一个直三棱柱模型,使它的全面积与给出的三角形的面积相等.请仿照图2设计剪拼方案,用虚线标示在图3中,并作简要说明.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/56d266a04f3dc7483eddbc26c5e487db.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2023/5/16/4e5e0ba9-486a-44e2-8f5e-79e24ae11e6c.png?resizew=514)
(1)试比较图1与图2剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小;
(2)如果给出的是一块任意三角形的纸片(如图3),要求剪拼成一个直三棱柱模型,使它的全面积与给出的三角形的面积相等.请仿照图2设计剪拼方案,用虚线标示在图3中,并作简要说明.
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2023/5/16/227158b0-5f51-435e-9522-6b3ddcde2bcc.png?resizew=160)
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6 . 南北朝时期的伟大科学家祖暅,于五世纪末提出了体积计算原理,即祖暅原理:“夫叠棋成立积,缘幂势既同,则积不容异”.意思是:夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么,这两个几何体的体积相等.其最著名之处是解决了“牟合方盖”的体积问题.如图所示,正方体
,棱长为
.
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2023/4/25/888f0441-2d40-44b3-a211-dd71566d94ab.png?resizew=190)
(1)求图中四分之一圆柱体
的体积;
(2)在图中画出四分之一圆柱体
与四分之一圆柱体
的一条交线(不要求说明理由);
(3)四分之一圆柱体
与四分之一圆柱体
公共部分是八分之一个“牟合方盖”.点
在棱
上,设
.过点
作一个与正方体底面
平行的平面,求该截面位于八分之一“牟合方盖”内部分的面积;
(4)如果令
,求出八分之一“牟合方盖”的体积.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/6e09725691ee7851f54c0dee86b2bf55.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/11bc05f41215f9894e11d1df0465751a.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2023/4/25/888f0441-2d40-44b3-a211-dd71566d94ab.png?resizew=190)
(1)求图中四分之一圆柱体
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/054953a465fb3138b735d2c9f13f909b.png)
(2)在图中画出四分之一圆柱体
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/054953a465fb3138b735d2c9f13f909b.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/88b5be03a013ca64f50bddbb806818ac.png)
(3)四分之一圆柱体
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/054953a465fb3138b735d2c9f13f909b.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/88b5be03a013ca64f50bddbb806818ac.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ac047e91852b91af639feec23a9598b2.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e0a851907ada2ac2c3c4880a6736d28a.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/62b3df4a6206ad83b2adca24f6693d8a.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ac047e91852b91af639feec23a9598b2.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/60ef95894ceebaf236170e8832dcf7e3.png)
(4)如果令
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2023-04-21更新
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917次组卷
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7卷引用:压轴题立体几何新定义题(九省联考第19题模式)练
(已下线)压轴题立体几何新定义题(九省联考第19题模式)练(已下线)第二章 立体几何中的计算 专题三 空间体积的计算 微点2 祖暅原理及球体积辅助体综合训练【培优版】(已下线)模块四 专题2 高考新题型专练(新定义专练)(人教A)山西省阳泉市第十一中学校2022-2023学年高一下学期期中数学试题(已下线)重难点专题02 空间点直线平面之间的位置关系-【同步题型讲义】山西省晋中市2022-2023学年高一下学期期中数学试题山西省长治市2022-2023学年高一下学期期中数学试题
7 . 阳马,中国古代算数中的一种几何形体,是底面为长方形,两个三角面与底面垂直的四棱锥体.如图,四棱锥P-ABCD就是阳马结构,PD⊥平面ABCD,且
,
,
.
平面
;
(2)若
,求三棱锥
的体积.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1bec03e804f0cea1db5cde2aa185056a.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/27db558e8db4c957654c8e5cecd2d2dc.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/67c4336d602211dbca2f1c5fc511f45c.png)
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(2)若
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/877e0b42cc7f2add2521ba2d876af2e4.png)
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2023-04-13更新
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1799次组卷
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5卷引用:第六章立体几何初步章末二十种常考题型归类(2)-【帮课堂】(北师大版2019必修第二册)
(已下线)第六章立体几何初步章末二十种常考题型归类(2)-【帮课堂】(北师大版2019必修第二册)广西柳州高级中学、南宁市第三中学2023届高三联考数学(文)试题第13章 立体几何初步(B卷·能力提升)-【单元测试】2022-2023学年高一数学分层训练AB卷(苏教版2019必修第二册)广东省肇庆市德庆县香山中学2022-2023学年高一下学期5月月考数学试题河南省许昌市鄢陵县职业教育中心(升学班)2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题
名校
解题方法
8 . 《瀑布》(图1)是最为人所知的作品之一,图中的瀑布会源源不断地落下,落下的水又逆流而上,荒唐至极,但又会让你百看不腻,画面下方还有一位饶有兴致的观察者,似乎他没发现什么不对劲.此时,他既是画外的观看者,也是埃舍尔自己.画面两座高塔各有一个几何体,左塔上方是著名的“三立方体合体”由三个正方体构成,右塔上的几何体是首次出现,后称“埃舍尔多面体”(图2)
,
的顶点为“框架点”,定义两正方形交线为“极轴”,其端点为“极点”,记为
,将极点
,分别与正方形
的顶点连线,取其中点记为
,
,
,如(图3).埃舍尔多面体可视部分是由12个四棱锥构成,这些四棱锥顶点均为“框架点”,底面四边形由两个“极点”与两个“中点”构成,为了便于理解,图4我们构造了其中两个四棱锥
与![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d3515ff4df04d24912acbf35d327e1f8.png)
与
成角余弦值;
(2)求平面
与平面
的夹角正弦值;
(3)求埃舍尔体的表面积与体积(直接写出答案).
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/36134f01da0f13b340e82e8835324f25.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/750335e0a1896eb270407e86335a85a2.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ee1c51f15c934050099b460b19a04f4b.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e9195bc5917cc0dcef221f17561d1cdc.png)
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(2)求平面
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(3)求埃舍尔体的表面积与体积(直接写出答案).
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2023-01-18更新
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1069次组卷
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11卷引用:压轴题立体几何新定义题(九省联考第19题模式)练
(已下线)压轴题立体几何新定义题(九省联考第19题模式)练重庆市缙云教育联盟2023-2024学年高二下学期2月月度质量检测数学试题(已下线)微考点8-1 新高考新题型19题新定义题型精选(已下线)第二章 立体几何中的计算 专题三 空间体积的计算 微点6 空间交叉图形公共部分体积的计算【培优版】(已下线)第六章 突破立体几何创新问题 专题一 跨学科交汇问题 微点3 跨学科交汇问题综合训练【培优版】(已下线)专题07 空间向量与立体几何(九大题型+优选提升题)-【好题汇编】备战2023-2024学年高二数学下学期期末真题分类汇编(沪教版2020选择性必修,上海专用)上海市南洋模范中学2022-2023学年高二上学期期末数学试题(已下线)第3章 空间向量及其应用(基础、常考、易错、压轴)分类专项训练(原卷版)(已下线)期末真题必刷压轴60题(23个考点专练)-【满分全攻略】2023-2024学年高二数学同步讲义全优学案(人教A版2019选择性必修第一册)(已下线)期末真题必刷压轴60题(22个考点专练)-【满分全攻略】2023-2024学年高二数学同步讲义全优学案(沪教版2020必修第三册)山东省青岛第五十八中学2023-2024学年高二上学期9月月考检测数学试题
名校
解题方法
9 . 某校积极开展社团活动,在一次社团活动过程中,一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍薨”这个五面体,于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题,如图1,E、F、G分别是边长为4的正方形的三边
的中点,先沿着虚线段
将等腰直角三角形
裁掉,再将剩下的五边形
沿着线段
折起,连接
就得到了一个“刍甍”(如图2).
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(1)若O是四边形
对角线的交点,求证:
平面
;
(2)若
,求三棱锥
的体积.
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(1)若O是四边形
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7090ad13cf3664c89cdb2288779a9669.png)
(2)若
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2023-01-11更新
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1153次组卷
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10卷引用:模块一 专题1 《立体几何》单元检测篇 A基础卷
(已下线)模块一 专题1 《立体几何》单元检测篇 A基础卷(已下线)压轴题立体几何新定义题(九省联考第19题模式)练(已下线)第六章 突破立体几何创新问题 专题一 交汇中国古代文化 微点3 与中国古代文化遗产有关的立体几何问题(三)【基础版】广西柳州市2023届高三上学期第二次模拟数学(文)试题(已下线)8.5.2 直线与平面平行 (精讲)(1)-【精讲精练】2022-2023学年高一数学下学期同步精讲精练(人教A版2019必修第二册)(已下线)专题06空间位置关系的判断与证明(已下线)专题13 押全国卷(文科)第18题 立体几何(已下线)专题13立体几何(解答题)四川省泸县第四中学2023-2024学年高三上学期开学考试文科数学试题宁夏回族自治区石嘴山市2023届高三一模文科数学试题
解题方法
10 . 《九章算术》记录形似“锲体”的所谓羡除,就是三个侧面都是梯形或平行四边形(其中最多只有一个平行四边形)、两个不平行对面是三角形的五面体.如图,羡除ABCDEF的底面ABCD是边长为1的正方形,且△EAD、△FBC均为正三角形,棱EF平行于底面ABCD,EF=2.
(2)求三棱锥A-BCE的体积.
(2)求三棱锥A-BCE的体积.
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2022-05-15更新
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401次组卷
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3卷引用:8.6.1 直线与直线垂直-同步题型分类归纳讲与练(人教A版2019必修第二册)
(已下线)8.6.1 直线与直线垂直-同步题型分类归纳讲与练(人教A版2019必修第二册)安徽省示范高中培优联盟2021-2022学年高一下学期春季联赛数学试题湖北省武汉市江岸区2021-2022学年高一下学期期末数学试题