1 . 如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，，D，E分别是线段的中点，在平面内的射影为D．

   

(1)求证：平面；
(2)若点F为棱的中点，求三棱锥的体积；
(3)在线段上是否存在点G，使二面角的大小为，若存在，请求出的长度，若不存在，请说明理由．

2 . 如图，四棱台中，上、下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，，、分别为、的中点，上下底面中心的连线垂直于上下底面，且与侧棱所在直线所成的角为45°.
       
(1)求证：平面；
(2)线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由.

3 . 如图，四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，在锐角中，，点在上，.
   
(1)求证：平面；
(2)若与平面所成的角为，求二面角的正切值.

4 . 如图，在矩形ABCD中，，，M是线段AD上的一动点，将沿着BM折起，使点A到达点的位置，满足点平面且点在平面内的射影E落在线段BC上.

      

(1)当点M与端点D重合时，证明：平面；
(2)求三棱锥的体积的最大值；
(3)设直线CD与平面所成的角为，二面角的平面角为，求的最大值.

5 . 如图，在四棱锥中，，且，底面是边长为的菱形，.
   
(1)证明：面面；
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，点为棱上的动点，求平面与平面夹角的正弦值的最小值.

6 . 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面QAD是正三角形，侧面底面，M是QD的中点．

   

(1)求证：平面；
(2)求侧面QBC与底面所成二面角的余弦值；
(3)在棱QC上是否存在点N使平面平面AMC成立？如果存在，求出，如果不存在，说明理由．

8 . 如图1，在四边形中，，，.为的中点，将四边形沿折起，使得，得到如图2所示的几何体.
   
(1)证明：平面；
(2)若为上靠近点的三等分点，求二面角的余弦值.

9 . 如图，在三棱锥中，.点是的中点，，连接.
   
(1)求证：平面平面；
(2)求点到平面的距离.

10 . 如图，平面平面，四边形为矩形，且为线段上的动点，，，，.

   

(1)当为线段的中点时，
（i）求证：平面；
（ii）求直线与平面所成角的正弦值；
(2)记直线与平面所成角为，平面与平面的夹角为，是否存在点使得?若存在，求出；若不存在，说明理由.