1 . 如下左图，矩形中，，，.过顶点作对角线的垂线，交对角线于点，交边于点，现将沿翻折，形成四面体，如下右图.

   

(1)求四面体外接球的体积；
(2)求证：平面平面；
(3)若点为棱的中点，请判断在将沿翻折过程中，直线能否平行于面.若能请求出此时的二面角的大小；若不能，请说明理由.

2 . 垂直于单位正方体的一条对角线的截面，与对角线的交点位于两个三等分点之间，求证：截面为六边形，且截面的周长为定值．
   

3 . 如图所示，圆台的上､下底面圆半径分别为和为圆台的两条不同的母线.分别为圆台的上､下底面圆的圆心，且为等边三角形.

(1)求证：；
(2)截面与下底面所成的夹角大小为，求异面直线与所成角的余弦值.

4 . 已知平面，直线AB和CD在N内的射影分别为，，在M内的射影分别为，，若，，求证：．

5 . 已知底面边长和斜高长均为2的正四棱锥被平行于底面的平面所截得的正棱台为，且满足.

(1)求证：平面
(2)求棱台的体积和表面积.

6 . 在如图所示的圆柱中，AB，CD分别是下底面圆O，上底面圆的直径，AD，BC是圆柱的母线，E为圆O上一点，P为DE上一点，且平面BCE.

(1)求证：；
(2)若，二面角的正弦值为，求三棱锥的体积.

7 . 用光线照射物体，在某个平面上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面.由平行光线形成的投影叫做平行投影，由点光源发出的光线形成的投影叫做中心投影.投影线垂直于投影面产生的平行投影叫做正投影，投影线不垂直于投影而产生的平行投影叫做斜投影.物体投影的形状､大小与它相对于投影面的位置和角度有关.如图所示，已知平行四边形在平面内的平行投影是四边形.

图

图

图

(1)若平行四边形平行于投影面（如图），求证：四边形是平行四边形；
(2)在图中作出平面与平面的交线（保留作图痕迹，不需要写出过程）；
(3)如图，已知四边形和平行四边形的面积分别为，平面与平面的交线是直线，且这个平行投影是正投影.设二面角的平面角为（为锐角），猜想并写出角的余弦值（用表示），再给出证明.

8 . 已知圆台的上、下底面半径分别为20cm，30cm，高为18cm，过它的两条母线作一平面截去上底面圆周的．

(1)求证：这个截面截下底面圆周也是；
(2)求这个截面面积．

9 . 如图，在四棱锥中，平面ABCD，O为垂足，点M在SO上，且，经过点M作与底面ABCD平行的平面，分别交棱SA，SB，SC，SD于点，，，.

(1)求证：四边形四边形ABCD；
(2)求棱锥的体积与棱台的体积之比.

10 . （1）证明：如果一个平面与另一个平面的垂线平行，那么这两个平面互相垂直；
（2）若将（1）中的条件改为“如果一个平面与另一个平面的垂面平行”，结论是否仍然成立？