1 . 图，在三棱锥中，平面平面，,点在上，

（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若二面角的余弦值为，求三棱锥的体积.

2 . 如图，在菱形中，与相交于点，平面，.

(1)求证：平面；
(2)当直线与平面所成的角的余弦值为时，求证：；
(3)在（2）的条件下，求异面直线与所成的余弦值.

3 . 如图，已知圆锥和圆柱的组合体（它们的底面重合），圆锥的底面圆半径为，为圆锥的母线，为圆柱的母线，为下底面圆上的两点，且，，.

(1)求证：平面平面；
(2)求二面角的正弦值．

4 . 若点是棱长为的正方体的内切球的球面上的动点，点为棱上的一点，且，，则动点的轨迹的长度为______．

5 . 如图，在三棱锥中，，，，点在平面内，，.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）设点在棱上，若二面角的余弦值为，试求的值.

6 . 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．
如图，在阳马中，侧棱底面，且，为中点，点在上，且平面，连接，．

（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）试判断四面体是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；
（Ⅲ）已知，，求二面角的余弦值．

7 . 如图所示的几何体中，为三棱柱，且平面，四边形为平行四边形，．

（1）若，求证：平面；
（2）若，二面角的余弦值为，求三棱锥的体积．

8 . 如图，在直三棱柱中，，，分别是的中点．

（1）求证；
（2）求二面角的平面角的余弦值．

9 . 在四面体中，，，平面 平面，，则四面体的体积为_________.

10 . 已知,分别为等腰直角三角形的边上的中点，，现把沿折起（如图2），连结，得到四棱锥．

（1）证明：无论把转到什么位置，面面；
（2）当四棱锥的体积最大时，求到面的距离及体积的最大值．