1 . 已知四棱锥，底面为菱形，为上的点，过的平面分别交于点，且∥平面．
   
(1)证明：；
(2)当为的中点，与平面所成的角为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．

2 . 如图，在直三棱柱中，M为棱的中点，，，.

(1)求证：平面；
(2)求证：平面；
(3)在棱上是否存在点N，使得平面平面？如果存在，求此时的值；如果不存在，请说明理由.

3 . 已知正方体的棱长为为体对角线的三等分点，动点在三角形内，且三角形的面积，则点的轨迹长度为___________.

4 . 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，侧面为正三角形，且平面平面，则下列说法正确的是（       ）

A．在棱上存在点，使平面

B．异面直线与所成的角为90°

C．二面角的大小为45°

D．平面

5 . 如图，在四棱锥中，四边形是等腰梯形，．分别是的中点，且，平面平面．

（1）证明：平面；
（2）已知三棱锥的体积为，求二面角的大小．

6 . 如图所示，在四棱锥中，底面四边形是菱形，底面是边长为2的等边三角形，PB=PD=，AP=4AF

（1）求证：PO⊥底面ABCD
（2）求直线与OF所成角的大小.
（3）在线段上是否存在点，使得平面？如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由.

7 . ，分别为菱形的边，的中点，将菱形沿对角线折起，使点不在平面内，则在翻折过程中，下列选项正确的是（       ）
①平面；②异面直线与所成的角为定值；③在二面角逐渐变小的过程中，三棱锥外接球的半径先变小后变大；④若存在某个位置，使得直线与直线垂直，则的取值范围是

A．①②

B．①②④

C．①④

D．①②③④

8 . 已知梯形中，，，，，分别是，上的点，，，沿将梯形翻折，使平面平面（如图）．

（1）当时，①证明：平面；②求二面角的余弦值；
（2）三棱锥的体积是否可能等于几何体体积的？并说明理由．

9 . 某人设计了一个工作台，如图所示，工作台的下半部分是个正四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁，其底面边长为4，高为1，工作台的上半部分是一个底面半径为的圆柱体的四分之一．

（1）当圆弧E₂F₂（包括端点）上的点P与B₁的最短距离为5时，证明：DB₁⊥平面D₂EF．
（2）若D₁D₂＝3．当点P在圆弧E₂E₂（包括端点）上移动时，求二面角P﹣A₁C₁﹣B₁的正切值的取值范围．

10 . 已知三棱锥中，与均为等腰直角三角形，且，，为上一点，且平面.

（1）求证：；
（2）过作一平面分别交， ， 于，，，若四边形为平行四边形，求多面体的表面积.