1 . 如图，四面体
中，
．
(1)求证：平面
平面
；
(2)若
，
①若直线
与平面
所成角为30°，求
的值；
②若
平面
为垂足，直线
与平面的交点为
．当三棱锥
体积最大时，求
的值．
中，． (1)求证：平面
平面；(2)若
，①若直线
与平面所成角为30°，求的值；②若
平面为垂足，直线与平面的交点为．当三棱锥体积最大时，求的值．
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2 . 若
，则称
为
维空间向量集，
为零向量，对于
，任意
，定义：
①数乘运算：
；
②加法运算：
；
③数量积运算：
；
④向量的模：
，
对于中一组向量
，若存在一组不同时为零的实数
使得
，则称这组向量线性相关，否则称为线性无关，
(1)对于
，判断下列各组向量是否线性相关：
①
；
②
；
(2)已知
线性无关，试判断
是否线性相关，并说明理由；
(3)证明：对于中的任意两个元素
，均有
，
，则称为维空间向量集，为零向量，对于，任意，定义：①数乘运算：
；②加法运算：
；③数量积运算：
；④向量的模：
，对于
中一组向量，若存在一组不同时为零的实数使得，则称这组向量线性相关，否则称为线性无关，(1)对于
，判断下列各组向量是否线性相关：①
；②
；(2)已知
线性无关，试判断是否线性相关，并说明理由；(3)证明：对于
中的任意两个元素，均有，
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解题方法
3 . 长方体
中，
，点
是线段
上异于
的动点，记
．当
为钝角时，实数
的取值范围是______ ；当点到直线的距离为
时，的值为______ ．
中，，点是线段上异于的动点，记．当为钝角时，实数的取值范围是到直线的距离为时，的值为
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4 . 已知空间向量
，
，
，
均为单位向量，且与
夹角为
，与夹角为
，则
的最大值为______ .
，，，均为单位向量，且与夹角为，与夹角为，则的最大值为
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解题方法
5 . 如图，三棱台
的底面为锐角三角形，点D，H，E分别为棱
，
，
的中点，且
，
；侧面
为垂直于底面的等腰梯形，若该三棱台的体积最大值为
，则下列说法可能但不一定正确的是（ ）
的底面为锐角三角形，点D，H，E分别为棱，，的中点，且，；侧面为垂直于底面的等腰梯形，若该三棱台的体积最大值为，则下列说法可能但不一定正确的是（ ）
A．该三棱台的体积最小值为 | B． |
C． | D． |
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解题方法
6 . 长方体中，
，
，
，点
是空间一动点，是棱
的中点，则下列结论正确的是（ ）
中，，，，点是空间一动点，是棱的中点，则下列结论正确的是（ ）A．若在侧面 内 含边界 运动，当 长度最小时，三棱锥 的体积为 |
B．若在侧面内含边界运动，存在点，使 平面 |
C．若在侧面内含边界运动，且 ，则点的轨迹为圆弧 |
D．若在 内部运动，过分别作平面，平面，平面 的垂线，垂足分别为 ， ， ，则 为定值 |
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7 . 已知点在水平面
内，从出发的三条两两垂直的线段
位于的同侧，若
到的距离分别为
，则
的值为（ ）
在水平面内，从出发的三条两两垂直的线段位于的同侧，若到的距离分别为，则的值为（ ）| A．1 | B． | C． | D．2 |
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名校
解题方法
8 . 三阶行列式是解决复杂代数运算的算法，其运算法则如下：
若
，则称
为空间向量与的叉乘，其中
，
， 
为单位正交基底. 以 
为坐标原点、分别以
，
，
的方向为 
轴、 
轴、 
轴的正方向建立空间直角坐标系，已知
，
是空间直角坐标系中异于 的不同两点
(1)①若
，
，求
；
②证明
.
(2)记
的面积为 
，证明：
.
(3)证明：
的几何意义表示以为底面、
为高的三棱锥体积的
倍.
若，则称为空间向量与的叉乘，其中，， 为单位正交基底. 以 为坐标原点、分别以，，的方向为 轴、 轴、 轴的正方向建立空间直角坐标系，已知，是空间直角坐标系中异于 的不同两点(1)①若
，，求；②证明
.(2)记
的面积为 ，证明：.(3)证明：
的几何意义表示以为底面、为高的三棱锥体积的倍.
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2024-04-06更新
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619次组卷
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7卷引用：河南省部分重点高中2024届高三普通高等学校招生全国统一考试（期末联考）数学试卷
河南省部分重点高中2024届高三普通高等学校招生全国统一考试（期末联考）数学试卷江苏省扬州市仪征中学2024届高三下学期期初调研测试数学试题 河南省部分重点高中（青桐鸣）2023-2024学年高三上学期期末大联考数学试题（已下线）专题22 新高考新题型第19题新定义压轴解答题归纳（9大核心考点）（讲义）江苏省江都中学2023-2024学年高二下学期3月联考数学试卷江苏省盱眙中学2023-2024学年高二下学期第一次学情调研数学试题（已下线）第七章 应用空间向量解立体几何问题拓展 专题二 平面法向量求法及其应用 微点2 平面法向量求法及其应用（二）【培优版】
名校
9 . 已知
是空间单位向量，
，若空间向量满足
，
，且对于任意
，都有
（其中
），则
______ ．
是空间单位向量，，若空间向量满足，，且对于任意，都有（其中），则
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解题方法
10 . 直四棱柱的所有棱长都为4，
，点在四边形
及其内部运动，且满足
，则下列选项正确的是（ ）
的所有棱长都为4，，点在四边形及其内部运动，且满足，则下列选项正确的是（ ） A．点的轨迹的长度为 . |
B．直线 与平面所成的角为定值． |
C．点到平面 的距离的最小值为 . |
D． 的最小值为-2． |
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