1 . 如图所示，在直三棱柱中，，，，.

(1)求证：；
(2)在上是否存在点，使得平面，若存在，确定点位置并说明理由，若不存在，说明理由．

2 . 如图所示，四棱锥的底面是边长为2的正方形，E、F、G分别为棱AB、BC、PD的中点．设三点A、E、G所确定的平面为，，．

(1)求证：点M是棱PC的中点；
(2)若底面ABCD，且二面角的大小为45°．
①求直线EF与平面所成角的大小；
②求线段PN的长度．

3 . 长方体中，，，分别为棱上的动点，且 ，

图1                                                    图2

(1)如图1，当时，求证：直线平面；
(2)如图2，当，且的面积取得是大值时，求点B到平面的距离；
(3)当时，求从点经此长方体表面到达点最短距离.

4 . 已知正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，E为棱CC₁上的动点．

（1）求证：A₁E⊥BD；
（2）若平面A₁BD⊥平面EBD，试确定E点的位置．

5 . 如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E，F分别为棱DD₁､BB₁的中点.

(1)证明：直线CF//平面；
(2)若该正方体的棱长为4，试问：底面ABCD上是否存在一点P，使得PD₁⊥平面A₁EC₁，若存在，求出线段DP的长度，若不存在，请说明理由.

6 . 在四棱锥中，四边形是边长为4的菱形，，.

（1）证明：平面；
（2）如图，取的中点为，在线段上取一点使得，求二面角的大小.

7 . 如图，在三棱柱中，平面 ，，点分别在棱和棱 上，且为棱的中点．

（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求二面角的正弦值；
（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．

8 . 如图所示的几何体中，和均为以为直角顶点的等腰直角三角形，，，，，为的中点.

（1）求证：；
（2）求二面角的大小；
（3）设为线段上的动点，使得平面平面，求线段的长.

9 . 如图，在四棱锥中中，底面，，，，，点为棱的中点.

（1）证明：；
（2）若为棱上一点，满足，求线段的长.