1 . 如图，在棱长为2的正方体中，，，分别为，，的中点．

(1)求证：平面；
(2)试在棱上找一点，使平面，并证明你的结论．

2 . 如图，在四面体中，底面ABC是边长为1的正三角形，，点P在底面ABC上的射影为H， ，二面角的正切值为．

(1)求证：；
(2)求异面直线PC与AB所成角的余弦值．

3 . 如图，在正四棱柱中，，，、分别为和的中点.

(1)证明：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.

4 . 如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，M是线段的中点．

(1)求证：平面；
(2)若，求二面角的大小；
(3)若线段上总存在一点P，使得，求t的最大值．

5 . 在棱长为1的正方体中，E，F分别为D₁D，BD的中点，G在棱CD上，且，H为的中点，应用空间向量方法求解下列问题．

   

(1)求证：；
(2)求与所成角的余弦值；
(3)求的长．

6 . 如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，，且底面，点P，Q分别在棱、上.
   
(1)若P是的中点，证明：；
(2)若平面，二面角的余弦值为，求四面体的体积.

7 . 如图，在矩形ABCD中，，P，Q分别为线段AB，CD的中点，平面ABCD.

   
(1)求证：∥平面CEP；
(2)求证：平面平面DEP.

8 . 如图，在四面体中，平面，，，．是的中点，是的中点，点在线段上，且．证明：平面；
   

9 . 如图，已知空间几何体的底面ABCD是一个直角梯形，其中,,,，且底面ABCD，PD与底面成角．

   

(1)若，求该几何体的体积；
(2)若AE垂直PD于E，证明：；
(3)在（2）的条件下，PB上是否存在点F，使得，若存在，求出该点的坐标；若不存在，请说明理由．

10 . 如图，在三棱锥中，，，点、分别是、的中点，底面.

(1)求证平面；
(2)当时，求直线与平面所成角的正弦值；
(3)当取何值时，在平面内的射影恰好为的重心？