1 . 如图，四棱锥的底面为矩形，平面平面是边长为2的等边三角形，，点为的中点，点为线段上一点（与点不重合）．

(1)证明：；
(2)当为何值时，直线与平面所成的角最大？
(3)在（2）的条件下，求点到平面的距离．

2 . 如图， 平面， ， ， ， ， .

(1)求证: 平面；
(2)求直线与平面所成角的余弦值
(3)若二面角的余弦值为 ，求线段的长.

3 . 如图1所示，为等腰直角三角形，分别为中点，将沿直线翻折，使得，如图2所示．

(1)求证：平面平面；
(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值

4 . 如图，点C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点，平面平面ABC，△PAC是边长为2的正三角形.

(1)求证：平面PAC；
(2)若点E，F分别是PC，PB的中点，且异面直线AF与BC所成角的正切值为，记平面AEF与平面ABC的交线为直线l，点Q为直线l上动点，求直线PQ与平面AEF所成角的取值范围.

5 . 如图，在直四棱柱中，底面是边长为2的正方形，侧棱，点分别在侧棱上，且，点为线段上的任意一点.

   

(1)求二面角的余弦值：
(2)求直线与平面所成角的正弦值的最大值.

6 . 如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，平面平面，，点是棱的中点，点在棱上.

   

(1)当点在什么位置时，使得平面；
(2)若面与面所成角的正弦值为，求的长.

7 . 如图，在四棱锥中，平面，，，，，点在上，且.

(1)证明：平面；
(2)当二面角的余弦值为时，求点到直线的距离.

8 . 如图，在棱长为2的正方体中，点是的中点.

(1)求证：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.

9 . 如图，在四棱锥中，平面平面，，且，，，，，为的中点.

(1)求证：平面；
(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值；
(3)在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

10 . 如图所示，已知空间四边形的每条边和对角线长都等于1，点，，分别是的中点．

(1)计算：；
(2)求证：；
(3)求异面直线和所成角的余弦值．