1 . 如图，在四棱柱中，，，平面平面，.

(1)求证：平面；
(2)若为线段的中点，直线与平面所成角为45°，求平面与平面的夹角的余弦值.

2 . 如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面底面，侧棱与底面所成的角为．
   
(1)证明：平面平面；
(2)若平面平面，求二面角的正弦值．

3 . 图1是由正方形和正三角形组成的一个平面图形，将沿折起，使点到达点的位置，为的中点，如图2．

   

(1)求证：平面；
(2)若平面平面，求平面与平面夹角的余弦值．

4 . 如图，在斜三棱柱中，平面平面且，点到平面.的距离为.
   
(1)求证：；
(2)若，求平面与平面夹角的余弦值.

5 . 如图，在正方体中，分别为的中点，分别为的中点，为平面的中心，且正方体棱长为1.
   
(1)证明：平面平面；
(2)是否存在过直线且与正方体的12条棱的夹角均相等的平面？若存在，求出该平面与平面的夹角的余弦值，若不存在，请说明理由.

6 . 如图，四棱台中，上、下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，，上、下底面中心的连线NM垂直于上、下底面，且NM与侧面所成角的正切值为．

(1)求点A到平面的距离；
(2)求二面角的余弦值．

7 . 如图（1），平面四边形中，，，，将沿边折起如图（2），使________，点，分别为，中点．在题目横线上选择下述其中一个条件，然后解答此题．①；②为四面体外接球的直径；③平面平面．
   
(1)证明：MN⊥平面ABD；
(2)求二面角A－MN－B的正弦值.

8 . 如图1，菱形中，动点在边上（不含端点），且存在实数使，沿将向上折起得到，使得平面平面，如图2所示．
   
(1)若，设三棱锥和四棱锥的体积分别为，求；
(2)当点的位置变化时，平面与平面的夹角（锐角）的余弦值是否为定值，若是，求出该余弦值，若不是，说明理由；

9 . 如图，在三棱柱中，，顶点在底面上的射影恰为点，且.
   
(1)求证：平面
(2)求棱与BC所成的角的大小；
(3)在线段上确定一点P，使，并求出二面角的平面角的余弦值.

10 . 如图，在三棱柱中，，，平面平面，.
   
(1)求证：；
(2)当时，求平面与平面夹角的余弦值.